Olasılık Örnek Soru 2

SORU:

Bir tabakta 6 armut ve 5 tane elma vardır. Tabaktan rastgele bir meyve alınacaktır. Alınan meyvanın elma olma olasılığı kaçtır?

ÇÖZÜM:

Tabakta toplamda 6 + 5 = 11 adet meyve vardır. Yanzi bizim örnek uzayımızı oluşturan tüm durumlar 11 elemanlı bir küme oluşturur. Soruda istenen elma olma durumu 5 elemanlı bir kümedir(5 adet elma olduğundan dolayı). Bu durmda tabaktan rastgele alınan meyvanın elma olma olasılığı P(E), 11 de 5'tir.

P(E) = 5/11 olur.

Turgut Arslan

Olasılık Örnek Soru 1

SORU:

Bir madeni para ard arda iki kez havaya atıldığında iki defa üst üste tura gelmesi olasılığı nedir?

ÇÖZÜM:

Madeni paranın iki yüzü olduğundan her seferinde gerçekleşebilir iki ihtimal vardır. Yazı veya tura gelebilir. 

Bir kez havaya atıldığında tura gelme ihtimali bu iki ihtimalden sadece biridir. Yani 1/2

İki kez ard arda havaya attığımızda tura gelme ihtimali ise,

(1/2).(1/2)= 1/4 tür.

Turgut Arslan

Sayı Kesir Problemleri 2007 ALES İlkbahar Say-1 Soru ve Çözümü

SORU:

Bir bidondaki 28 lt zeytinyağı 0,25 lt2lik şişelere doldurulursa tam olarak dolmayan şişede kaç lt zeytinyağı kalır? (2007 ALES Sayısal 1)

A) 0,25   B) 0,3   C) 0,4   D) 0,5   E) 0,6 

ÇÖZÜM:

Soruda 28 lt zeytinyağı 0,75'er litrelik şişelere paylaştırılmak isteniyor. son kalan ve tam olarak doldurulamayan şişedeki zeytinyağı miktarı soruluyor. Bunu bulmak için tüm zeytinyağı hacmini şişe hacmine böleriz ve kaç şişe dolduğunu buluruz. Bölme işlemi sonucunda kalan sayı bize son kalan ve tam olarak dolmayan şişedeki zeytinyağı miktarını verir.

 28/(0,75) = 2800/75(pay ve payda 100 ile çarpıldı) işlemi yapılır. 

Bölme işlemi sonucunda bölüm 37 kalan ise 25 olarak bulunur. bu sayı 100'e bölünürse son kalan ve tam dolu olmayan şişedeki zeytinyağı miktarı, 

0,27 lt olarak bulunur. 

Doğru Cevap A Seçeneğidir

 

Turgut Arslan

Karışım Problemleri Örnek Soru 1

SORU:

%10'u tuz olan 39 gr tuzlu su çözeltisinin 10 gramında kaç gram tuz vardır?

ÇÖZÜM:

Çözeltinin miktarı değişse de içindeki tuz oranı aynı kalır. Sadece tuz miktarı çözelti miktarına bağlı olarak değişir. %10'u tuz olan bir çözeltinin 10gramında da 39 gramında da tuz yüzdesi aynıdır. Aynı çözeltinin 10 gramındaki tuz miktarını hesaplamak için çözelti miktarı ile tuz yüzdesini çarpmamız yeterlidir. Buna göre tuz miktarımız,

10.(10/100) = 1 gram olacaktır.

Turgut Arslan

Karışım Problemleri 2009 KPSS Soru ve Çözümü

SORU:

Tuz oranı %20 olan tuzlu sudan 30 lt su buharlaştırılırsa yeni tuz oranı %30 oluyor.
Buna göre başlangıçtaki tuzlu su miktarı kaç litredir?(2009 KPSS)
A) 120   B) 100   C) 90   D) 80   E) 60

ÇÖZÜM:

Başlangıç için kabımızda x litre tuzlu su olsun. Bu tuzlu suyun %20'si tuz olduğuna göre başlangıç olarak kabımızda (20/100)x lt  kadar tuzumuz var demektir.

Şimdi kaptan 30 lt su buharlaştıralım. Bu durumda kabımızdaki tuzlu su miktarı x - 30 lt olur. Tuz su ile birlikte buharlaşmayacağı için kapta kalır. Yani karışımdaki tuz miktarı değişmez.

Tuz oranı = Tuz Miktarı / Karışımın Hacmi

Karışımdaki tuz yüzdesini(oranını) hesaplamak için karışımdaki tuz miktarını tüm karşımın hacmine böleriz. 30 lt su buharlaştırdığımız zaman karışımın tuz yüzdesi %30 oluyordu. Bu ipucunu kullanarak çözüme varabiliriz. Başlangıçta karışımda (20/100)x kadar tuzumuz vardı. Buharlaştırılmadan sonra tuz miktarı aynı kaldı.Buna göre denklemimiz

Yeni tuz oranı = (30 / 100) = (20/100)x /( x - 30)   (Gerekli sadeleştirmeler yapılırsa,)
2x = 3x - 90
x = 90 lt bulunur.

Doğru Cevap C Seçeneğidir.


Turgut Arslan

Mutlak Değer

Mutlak Değer Nedir?

Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusu üzerinde 0'a olan uzaklığıdır. Bir sayının mutlak değeri "| |" sembolü ile gösterilir.

Örnek: |3|, |-5|, |x-z|

Mutlak Değerin Özellikleri

x,y,z ∈ R olmak üzere

1.  |x|≥ 0 dır yani mutlak değer her zaman sıfırdan büyüktür. Sadece x=0 ise |x|=0 olur.
2. |-x| = |x| dir.
3. |x.y| =|x|.|y|
4. |x/y| =|x|/|y| (y≠0)
5. z>0 olmak şartıyla, |x|<z ise -z<x<z dir.
6.  |x|>z ise x>z veya x<-z dir.
7. |x + y|≤|x| + |y
8. ||x| - |y|| ≤ |x - y|
9. |x|2 = |x2| = x2
10. x ∈ R ve n bir çift sayı olmak üzere (xn)1/n = |x| dir.
    Örnek:(x2)1/2 = |x|
    

Örnek:
x < 4 ise |2x - |x-4|| neye eşittir?
Çözüm
x < 4 ise |x - 4| = -1.(x - 4) = 4 - x olur. Soruda verilen ifadede yerine koyarsak.
|2x - (4 - x)|
|2x -  4 + x|
|x - 4| olur ve soruda x için verilen şartı da uygularsak,
sonuç;
4 - x bulunur


Turgut Arslan

Birinci Dereceden Denklemler

Denklemler

Denklemler için matematiğin bel kemiğidir diyebiliriz. Sadece matematik değil, fizik, kimya, biyoloji, mühendislik vb. pekçok alanda problemlerin çözümü için denklemlerden yararlanılır. Denklem dediğimiz şey aslında bir problemin, bir olayın ya da bir değişimin formülize edilmiş halidir. Denklemler ait oldukları problemi tasvir ederler. Denkleme bakan bir kişi onu oluşturan sembollere bakarak problemi görür ve anlar. Her problemin denklemi kendine özgüdür. Bir problem çözülürken önce okunur, probleme konu olan olay iyice anlaşılır ve olayı tasvir eden bir denklem oluşturulur. Denklem çözüldüğünde problem de çözülmüş olur. Denklemler derecelerine göre sınıflandırılırlar. 

1. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

a ve b birer reel sayı olmak üzere,

ax + b = 0 

biçiminde yazılan denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenl denklem denir. Bu denklemi çözebilmek için denklemi sağlayan x değerini bulmak gerekir. Bu x değerine denklemin çözümü denir.

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Genel Çözüm Kümesi

Ç = {x| x∈ R, x = -b/a}
Denklemin çözüm işlem basamakları,
ax + b = 0
ax = -b
x = -b/a
Bu denklemlerle ilgili üç durum söz konusudur.

1. Durum

a ≠ ise; x = -b/a ve Ç = {-b/a}

2. Durum

a = 0 ve b = 0 ise; Ç = R Çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.

3. Durum

a = 0 ve b ≠ 0 ise Çözüm kümemiz boş kümedir.

 2. Birinci Derceden İki Bilinmeyenli Denklemler

a,b,c,d,e,f ∈R olmak üzere,
ax + by = c
dx + ey = f
şeklinde kurulan denklem sistemleri birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemleri olarak adlandırılırlar.

Bu denklem sistemleri iki yöntemle çözülebilirler.

1. Yerine koyma yöntemi

İlk olarak denklemlerin birinde ya x, y cinsinden; ya da y, x cinsinden yazılır ve bulunan değer diğer denklemde yerine yazılır.

Örnek:
x + y = 2
3x + 2y = 6 sistemini 1. yol ile çözelim
x + y = 2 => x = 2 - y olur bu diğer denklemde yerine yazılırsa,
3(2 - y) + 2y = 6
6 -3y + 2y = 6
6 - y = 6
6 - 6 = y
y = 0 bulunur ve y değeri ilk denklemde yerine yazılırsa,
x + 0 = 2
x = 2  bulunur.

2. Yoketme Yöntemi

Bu yöntemde denklemler alt alta yazılır ve toplanır. Burada amaç değişkenlerden birini yoketmektir. Bunun için alt alta yazılan denklemlerden birisi uygun bir pzitif vya negatif sayı ile çarpılır ve iki denklem toplanır. Değişkenlerden birisi böylelikle yokedilmiş olur ve sistem çözülür.

Örnek:
x + y = 2
3x + 2y = 6 sistemini 2. yol ile çözelim

-2/ x + y = 2 (denklem -2 katsayısı ile çarpılıyor)
3x + 2y = 6

-2x - 2y = -4
3x + 2y = 6 (iki denklem toplandığında y değişkenleri birbirlerini götürürler)

x = 6 - 4
x = 2
x değeri denklemde yerine yazılır ve y değişkeni bulunur.
2 + y = 2
y = 0

Her iki yöntem de aynı sonucu verir.


Turgut Arslan

OKEK ve OBEB Nedir?

OKEK (Ortak Katların En Küçüğü) Nedir?
En küçük ortak kat (EKOK) olarak da isimlendirilen OKEK iki ya da daha çok pozitif tam sayının ortak katlarının en küçüğü olan sayıdır. OKEK bulunurken ilk önce, verilen sayılar birlikte asal çarpanlarına ayrılır. Sonra bulunan asal çarpanlar birbirleriyle çarpılarak OKEK bulma işlemi tamamlanır. OKEK bulma işlemi aşağıda görüldüğü gibi yapılır.

24 , 72 ve 96 sayılarının OKEK'ini bulalım
(24, 72, 96)OKEK =

24 72 96
12 36 48
  6 18 24
  3   9 12
  3   9   6
  3   9   3
  1   3   1
       1

2
2
2
2
2
3
3

(24, 72, 96)OKEK = 25 . 32 = 288
Bu konu ile ilgili kaynaklarda OKEK bulma işlemi; "Ortak asal çarpanlardan üssü en büyük olanlarla ortak olmayan asal çarpanlar çarpılır" şekllinde ifade edilmiştir.İkisi de aynı kapıya çıkmaktadır.

OBEB (Ortak Bölenlerin En Büyüğü) Nedir?
En büyük ortak bölen (EBOB) olarak da isimlendirilen OBEB İki ya da daha fazla sayısı aynı anda bölen en büyük pozitif tam sayıdır. OBEB bulunurken verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır ve bu çarpanlardan ortak olanları işaretlenir. İşaretlenen ortak çarpanlar birbirleri ile çarpılarak OBEB bulma işlemi tamamlanır. OBEB bulma işlemi aşağıda görüldüğü gibidir.

24 , 72 ve 96 sayılarının OBEB'ini bulalım
(24, 72, 96)OBEB =

24 72 96
12 36 48
  6 18 24
  3   9 12
  3   9   6
  3   9   3
  1   3   1
       1

2

2

2

2
2

3

3

(24, 72, 96)OBEB = 23 . 31 = 24
Olarak bulunur.

Not:

İki sayının çarpımı bu sayıların OKEK ve OBEB'inin çarpımına eşittir. Yani
(a,b)OBEB = x
(a,b)OKEK = y
ise a.b = x.y dir.

Turgut ARSLAN

Bölünebilme Kuralları

2 ile Bölünebilme

Birler basamağı çift olan bütün sayılar 2 ile kalansız bölünebilir.

3 ile Bölünebilme

Verilen sayının rakamları toplamı 3 ve 3'ün katı ise bu sayı 3 ile kalansız bölünebilir.

Örnek:

126 sayısı => 1 + 2 + 3 = 6 sayısı 3'ün katı olduğundan 126, 3 ile kalansız bölünür.

718 sayısı => 7 + 1 + 8 =16 sayısı 3'ün katı değildir bu sebepten 718, 3 ile bölünemez.

4 ile Bölünebilme

Verilen sayının birler ve onlar basamağının oluşturduğu sayı 4 ile bölünebiliyorsa veya birler ve onlar basamağının her ikisi de sıfır ise bu sayı 4 ile kalansız bölünür.

Örnek:

2365698500 sayısı son iki basamağı da 0 olduğu için 4 ile kalansız bölünür.

365698655456516 sayısının da son iki basamağı olan 16 sayısı 4 ile bölündüğü için verilen sayı 4 ile kalansız bölünür.

Faktöriyel Kavramı ( n! )

Faktöriyel aslında özel bir çarpım serisidir. n pozitif bir doğal sayı olmak üzere, 1'den n'ye kadar olan sayıların çarpımı n! şeklinde gösterilir.

Faktöriyelin en genel ifadesi

n!= 1.2.3.4.5...........(n - 1).n

şeklindedir.

Ardışık Sayılarda Toplama İşlemi

Verilen bir ardışık sayı dizisi için, n dizideki eleman(terim) sayısı olmak üzere,

Terim sayısı = [ (Son Terim - İlk Terim) / Artış Miktarı] + 1

Toplam = (Terim Sayısı / 2) . (Son Terim + İlk Terim)

şeklinde hesaplanır.

1'den n'ye kadar olan sayıların toplamı,
1 + 2 + 3 + 4 +.........n = n.(n + 1) / 2

 Ardışık çift sayıların toplamı,
2 + 4 + 6 + ...... + (2n - 2) + 2n = n.(n + 1)

Ardışık tek sayıların toplamını veren formül ise,
1 + 3 + 5 + .....(2n - 3) + (2n - 1) = n2
 şeklindedir.

Ardışık Sayılar

Ardışık Sayı Nedir?

Birbirinin  ardı sıra sabit bir farkla artan ya da azalan sayılara "Ardışık Sayılar " denir.

1, 2, 3, 4,......n  1'den n'ye kadar olan ardışık sayılar(Sayma sayıları). Artış miktarı N = 1 için,

Ardışık sayı tanımında artış miktarı ve başlangıç sayısı için herhangi bir sınırlama yapılmamıştır. Tek şart artış miktarının sabit olmasıdır. 

3, 8, 11, 16, .....  3'ten başlayan ve beşer beşer artan ardışık sayılar.

Genel olarak ÖSS, ALES ve  KPSS gibi sınavlarda artış miktarı 1 olan Sayma sayıları ile tek ve çift ardışık sayı dizileri sorulmaktadır. 

n Ardışık Sayı Dizisindeki eleman sayısı olmak üzere,

Asal Sayılar

Asal Sayı Nedir?

Çarpanlarına ayrıldığı zaman kendisinden ve 1'den başka çarpanı olmayan ya da kendisinden veya 1'den başka böleni olmayan sayılara asal sayılar denmektedir. Asal sayılar 2'den başlar ve sonsuza kadar devam eder. 2 asal olan tek çift sayıdır. 1 sayısı asal sayı olarak kabul edilmez.

Asal sayılar kümesi : {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ........}

Aralarında Asal Sayılar

1'den başka pozitif ortak böleni olmayan sayılara aralarında asal sayılar denir. Üç farklı durumu vardır,

1. Doğal olarak iki asal sayı kendi aralarında asaldır.

17 ile 23, 41 ile 11 gibi...

2. Asal bir sayı ile asal olmayan bir sayı kendi aralarında asal olabilir.

4 ile 7, 12 ile 47 gibi...

3. Her ikisi de asal olmayan iki sayı kendi aralarında asal olabilir.

9 ile 16, 15 ile 82 gibi...

Sınavlarda aralarında asal olma durumu ile ilgili sorular genellikle rasyonel ifadeli denklemler olarak karşınıza çıkar.  Rasyonel ifadenin  bir tarafını sadeleştirip aralarında asal hale getirerek denklemin diğer kısmındaki bilinmeyenerle ilgili grekli işlemler yepılır ve sonuca ulaşılır.

Taban Aritmetiği

Sayı Tabanı Nedir?

Bilindiği gibi sayılar çokluk bildirmek için kullanılan rakamlardır. Sayıları kullanarak varlıkların miktarlarını belirtiriz. 5 elma, 20 kilo muz, 10 kilometre yol gibi ifadelerde varlığın ya da bahsedilen ölçünün miktarını hep sayılarla bildiriyoruz. Sayılar ise belirli bir sistemle yazılırlar. İkilik sistem, beşlik sistem onluk sistem gibi... Bu sistemler aslında belirli bir kurala göre yazılmış sayı kümeleridir. Sistemin ismini veren sayı, kümeyi oluşturan sayı dizisinin sınırını ve o dizideki eleman sayısını belirtir. Sözgelimi,

5 lik sistemin sayı kümesi {0, 1, 2, 3, 4 } şeklindedir. Bu sistemde 5 sayısı kullanılamaz. 5 sistemin sınırıdır ve yine bu sistemdeki eleman sayısına bakacak olursak toplamda 5 adet elemanın olduğunu görüyoruz. 

10'luk sistem için de durum aynıdır. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } gördüğünüz gibi onluk sistemin içinde 10 sayısı yoktur. Küme elemanlarını saydığımızda yine sistemin ismini veren sayı ile aynı olduğunu görürüz. 10'luk sistemde on tane eleman vardır. Bu durum diğer sistemlerde de aynıdır.

İşte bu sistemlere isimlerini veren, onları sınırlayan sayılara matematikte "Sayı Tabanı" denilmektedir. Genel olarak yazımı şu şekildedir.

a, b, c, ve n birer sayı olmak üzere

(abc)n n burada sayı tabanıdır.
5 lik sistemde bir sayı şu şekilde yazılır.
(23401)5

Sayı Tabanları Nasıl Çevrilir?

Sayı tabanları ile ilgili üç tür çevirme işlemi yapılır.

1. Herhangi bir tabandaki sayıyı 10 tabanına çevirmek
2. 10 tabanındaki bir sayıyı başka bir tabana çevirmek
3. Bir tabandaki sayıyı başka bir tabana çevirmek