Birinci Dereceden Denklemler

Denklemler

Denklemler için matematiğin bel kemiğidir diyebiliriz. Sadece matematik değil, fizik, kimya, biyoloji, mühendislik vb. pekçok alanda problemlerin çözümü için denklemlerden yararlanılır. Denklem dediğimiz şey aslında bir problemin, bir olayın ya da bir değişimin formülize edilmiş halidir. Denklemler ait oldukları problemi tasvir ederler. Denkleme bakan bir kişi onu oluşturan sembollere bakarak problemi görür ve anlar. Her problemin denklemi kendine özgüdür. Bir problem çözülürken önce okunur, probleme konu olan olay iyice anlaşılır ve olayı tasvir eden bir denklem oluşturulur. Denklem çözüldüğünde problem de çözülmüş olur. Denklemler derecelerine göre sınıflandırılırlar. 

1. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

a ve b birer reel sayı olmak üzere,

ax + b = 0 

biçiminde yazılan denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenl denklem denir. Bu denklemi çözebilmek için denklemi sağlayan x değerini bulmak gerekir. Bu x değerine denklemin çözümü denir.

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Genel Çözüm Kümesi

Ç = {x| x∈ R, x = -b/a}
Denklemin çözüm işlem basamakları,
ax + b = 0
ax = -b
x = -b/a
Bu denklemlerle ilgili üç durum söz konusudur.

1. Durum

a ≠ ise; x = -b/a ve Ç = {-b/a}

2. Durum

a = 0 ve b = 0 ise; Ç = R Çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.

3. Durum

a = 0 ve b ≠ 0 ise Çözüm kümemiz boş kümedir.

 2. Birinci Derceden İki Bilinmeyenli Denklemler

a,b,c,d,e,f ∈R olmak üzere,
ax + by = c
dx + ey = f
şeklinde kurulan denklem sistemleri birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemleri olarak adlandırılırlar.

Bu denklem sistemleri iki yöntemle çözülebilirler.

1. Yerine koyma yöntemi

İlk olarak denklemlerin birinde ya x, y cinsinden; ya da y, x cinsinden yazılır ve bulunan değer diğer denklemde yerine yazılır.

Örnek:
x + y = 2
3x + 2y = 6 sistemini 1. yol ile çözelim
x + y = 2 => x = 2 - y olur bu diğer denklemde yerine yazılırsa,
3(2 - y) + 2y = 6
6 -3y + 2y = 6
6 - y = 6
6 - 6 = y
y = 0 bulunur ve y değeri ilk denklemde yerine yazılırsa,
x + 0 = 2
x = 2  bulunur.

2. Yoketme Yöntemi

Bu yöntemde denklemler alt alta yazılır ve toplanır. Burada amaç değişkenlerden birini yoketmektir. Bunun için alt alta yazılan denklemlerden birisi uygun bir pzitif vya negatif sayı ile çarpılır ve iki denklem toplanır. Değişkenlerden birisi böylelikle yokedilmiş olur ve sistem çözülür.

Örnek:
x + y = 2
3x + 2y = 6 sistemini 2. yol ile çözelim

-2/ x + y = 2 (denklem -2 katsayısı ile çarpılıyor)
3x + 2y = 6

-2x - 2y = -4
3x + 2y = 6 (iki denklem toplandığında y değişkenleri birbirlerini götürürler)

x = 6 - 4
x = 2
x değeri denklemde yerine yazılır ve y değişkeni bulunur.
2 + y = 2
y = 0

Her iki yöntem de aynı sonucu verir.


Turgut Arslan

Denklemler 2009 KPSS Soru ve Çözümü

Soru:

(x + y)2=2
x2 + y2 = 3
olduğuna göre x.y çarpımı kaçtır?(2009 KPSS Lisans)
A)1   B)1/2   C)0   D)-1/2   E)-1

Çözüm:

(x + y)2 =2 ifadesini açalım,
x2 + 2xy + y2 = 2 sonra bu denklemi düzenleyelim,
x2 + y2 + 2xy = 2     x2 + y2 = 3 ifadesini denklemde yerine koyalım
3 + 2xy = 2
2xy = -1
xy = -1/2 olur

Doğru Cevap D seçeneğidir.