SAYILAR | Sayı ve Rakam Tanımı

Sayı Nedir?

Saymak en temel ihtiyaçlarımızdan birisidir. Tüm ihtiyaçlarımızı belirli miktarlar ölçüsünde gidermeye çalışırız. Aldığımız nefes, içtiğimiz su, yediğimiz yemek veya yaşadığımız ortamın sıcaklığı... Tüm bunlar hep belirli ölçülerde olmalılar ki hayatımızı sağlıklı bir şekilde devam ettirebilelim. 

Bu yüzden her şeyin miktarını merak ederiz. Bankada ne kadar param var? Dolapta kaç adet yumurta var? Kaçıncı sınıfta okuyorsun? Eve kaç metre yol kaldı? vs. Tüm bu soruların cevaplarını düşündüğümüzde sayıların hayatımızdaki yerini ve önemini daha iyi kavrarız.

Sayılara önem veririz çünkü yaşadığımız hayatın büyük bir kısmını onlarla ifade ederiz. Eylemlerimiz aslında hep sayısal ölçülere göredir. Bazılarınız düşüncelerimi fazlaca katı ve  duyguklardan uzak bulablir. Ama biraz daha incelikli düşünürseniz, yaşadığımız duyguları bile sayısal ölçülere göre ifade ettiğimizi görebilirsiniz.

Güzel dilimiz Türkçe'de birine "Seni Seviyorum" diyebilmek için toplamda 13 harften oluşan iki kelimeyi düzgünce yan yana getirebilmeniz gerekmektedir. Dört harf ilk kelimeyi oluşturmalı,  kalan dokuz harf ile ikinci kelimeyi tamamlamalısınız. Bir de kelimelerdeki harflerin alfabemizdeki sıra numaraları var. Anlamlı bir kelime oluşturabilmek için uygun sıra numaralı harfleri bir araya getirmeniz gerekiyor. Bu kurallara uymazsak doğru dürüst bir "Seni Seviyorum" bile diyemeyiz. Umarım yeterince açıklayıcı olabilmişimdir.

Bu örnekle, sayılar nezdinde matematiği günlük hayatta nerede kullanacağım? Benim ne işime yarayacak? sorularına da kısa bir cevap vermiş olduğumu düşünüyorum. Şimdi matematiğin temel taşı olan sayılar nasıl ifade edilir? Ona bakalım.

Rakam Nedir?

Sayıları ifade etme ihtiyacımız bizi doğrudan rakam nedir? sorusuna yöneltiyor. Matematiğin en güzel tarafı da budur. Soruların sonu yoktur. Her cevap sizi başka bir soruya yöneltir. Neyse lafı daha fazla uzatmadan rakam nedir? tanımlayalım.

Rakamlar sayıları ifade eden sembollerdir. 

Onları tek başlarına, çeşitli kombinasyonlarla yanyana getirerek(elbise kombin eder gibi) veya özel işaretler kullanarak(+,-,% vb.) farklı anlamlarda kullanır, ifade etmek istediğimiz miktarları belirten sayıları oluştururuz. 

Günümüzde kullanılan 10'luk sayı sisteminde 10 adet rakam bulunmaktadır. Bunlar sırasıyla,

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

dur. Bir sayının tanımlanabilmesi için, en az 1 rakamın kullanılması gerekir. Örneğin, 7 rakamı aynı zamanda 7 sayısıdır.

Her rakam(topu topu 10 taneler) bir sayıdır ama her sayı bir rakam değildir. "4" bir sayıdır. "14" te bir sayıdır. Ancak rakam değildir. 14, 1 ve 4 rakamlarının bir araya gelerek 10'luk sistemde yazılmasıyla oluşan bir sayıdır.

KPSS 2000 GENEL YETENEK Gerçel Sayılar Çıkmış Soru ve Çözümü

soru: a ve b gerçel( reel) sayılar ve
a^2 < a
a.b < 0
olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) a<0
B) b>0
C) b<0
D) a<b
E) a=b


Çözüm:
a^2<a ise a 0 ile 1 arasında bir kesirli sayı olmalıdır. 0<a<1
Neden? Hemen bir örnekle açıklayalım;
a= 1/2 olsun a' nın karesi (1/2)^2=1/4 olur ve
1/4 < 1/2 olur. Bu tüm basit kesirli sayılar için böyledir. Buradan aynı zamanda a sayısının pozitif bir sayı olduğunu da anlıyoruz. Neyse biz sorumuzun çözümüne dönelim.
a.b<0 ise a pozitif olduğundan
 b<0 sonucuna ulaşırız.


Doğru yanıt C seçeneği olur.

Sayılar Basamak Kavramı 2007 KPSS Soru ve Çözümü

SORU:

Üç basamaklı ABC sayısı için A + B + C = 19 dur.
Buna göre ABC + BCA + CAB toplamının değeri kaçtır?(2007 KPSS Lisans)

A) 2199   B) 2009   C) 2109   D) 2119   E) 2209

ÇÖZÜM:

ABC + BCA + CAB toplamını yapabilmek için ilk önce bu sayıları çözümleyelim,
    100A + 10B + C
    100B + 10C + A
+ 100C + 10A + B

111A + 111B + 111C
111(A + B + C)
111 x 19 = 2109

Doğru Cevap C seçeneğidir.

Turgut Arslan

Sayı Problemleri 2008 KPSS Soru ve Çözümü

SORU:

Bir sinema filminin biletleri öğrencilere 5 YTL'den diğer izleyicilere ise 8 YTL'den satılmıştır.
Bu film için satılan biletlerin sayısı 90 ve bilet satşından elde edilen para 510 YTL olduğuna göre, biletlerin kaç tanesi öğrencilere satılmıştır?(2008 KPSS)

A) 45   B) 50   C) 60   D) 70   E) 80

ÇÖZÜM:

Film için bilet alan öğrencilerin sayısı x olsun. Buna göre x kadar öğrenci 5x YTL para öder.

Toplamda 90 adet bilet satılmış. x tanesi öğrencilere satılmış ise 90 - x tanesi de diğer izleyicilere satılmıştır. Öğrenci olmayanların ödedikleri bilet parası 8(90 - x) YTL olur.

Toplamda 510 YTL ödenmiş. buna göre denklemimiz,

5x + 8(90 - x) = 510
5x + 720 - 8x = 510
3x = 210
x = 70

Toplamda 70 bilet öğrencilere satılmıştır.
Doğru Cevap D seçeneğidir

Turgut Arslan

Aritmetik Ortalama 2008 KPSS Soru ve Çözümü

SORU:

On iki sayının aritmetik ortalaması 15'tir. Bu sayılardan aritmetik ortalaması 9 olan üç sayı çıkarılıyor.
Buna göre, geriye kalan dokuz sayının aritmetik ortalaması kaçtır?(2008 KPSS)

A) 16   B) 17   C) 18   D) 19   E) 20

ÇÖZÜM:

n tane sayının artitmetik ortalamasını bulmak için aritmetik ortalama formülünü kullanırız,

 (Sayıların Toplamı)  

             n

Soruda bahsedilen 12 sayının toplamına m diyelim artimetik ortalama formülünü uygularsak,

m/12 = 15

m = 12 . 15 = 180 olarak bulunur.

Çıkarılan 3 sayının aritmetik ortlaması 9 ise bu üç sayının toplamı,

 

9 . 3 = 27 olur.

3 sayı çıkarıldıktan sonra geriye kalan 9 sayının toplamı ise,

180 - 27 = 153 olarak bulunur. Bu kalan 9 sayının aritmetik ortalaması ise,

153/9 = 17 dir.

Doğru Cevap B Seçeneğidir.

Turgut Arslan

Sayılar Basamak Kavramı 2008 KPSS Soru ve Çözümü

SORU:

İki basamaklı AB sayısı, rakamları toplamının 8 katına eşittir.
Buna göre iki basamaklı BA sayısı, rakamları toplamının kaç katıdır?(2008 KPSS)

A) 6   B) 5   C) 4   D) 3   E) 2

ÇÖZÜM:

Soruda verilenleri işleme koyarak çözüme başlayalım ilk önce,

AB = 8(A +B) (Soruda verilen ifade)

10A + B = 8A + 8B

2A = 7B

A/B = 7k/2k (k sıfırdan farklı bir orantı sabitidir.) Buna göre

A = 7k ve B = 2k olur.

Şimdi BA sayısınıa bakalım BA sayısı rakamları toplamının x katı olsun. Buna göre denklemimiz,

BA = x(B + A) olur. A ve B değerleini terlerine yazalım

(2k)(7k) = x(2k + 7k)

20k + 7k = 9kx

27k = 9kx

x = 3 bulunur.

Doğru Cevap D Seçeneğidir

Turgut Arslan

Sayılar 2007 ALES Sonbahar Sayısal-1 Soru ve Çözümü

SORU:

a ve b pozitif birer tam sayı olmak üzere,
3a + 5b = 300
eşitliğini sağlayan en büyük b değeri kaçtır?(2007 ALES Sonbahar Sayısal-1)
A) 57   B) 55   C) 53   D) 51   E) 49

ÇÖZÜM:

3a + 5b = 300 denklemde a'ya değerler vererek b'nin alabileceği değerler belirlenir. b pozitif bir tam sayı olarak tanımlandığı için b'yi tam sayı çıkaran a değerleri bulunmalıdır.
a = 5 için,
3 . 5 + 5b = 300
15 + 5b = 300
5b = 285
b = 57 olarak bulunur.
Doğru Cevap A Seçeneğidir.



Turgut Arslan

Sayılar Örnek Soru 3

SORU:

a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakam olmak üzere,
8a - 5b + 2c
ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri nedir?

ÇÖZÜM:

a,b ve c birer rakam olduklarına göre alabilecekleri değerler kümesi şu şekildedir,
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) bu kümeden soruda verilen denklemi en küçük yapmak üzere,
a = 0
b = 9
c = 1
Değerleri seçilirse sonuç,
8 . 0 + 5 . 9 + 2 . 1 = - 43 bulunur.



Turgut Arslan

Sayılar 2007 ALES Sonbahar Say-1 Soru ve Çözümü

SORU:

a ve b pozitif tam sayılarından büyük olanının 48 katı diğerinin 72 katına eşittir.
Buna göre a + b toplamının en küçük değeri kaçtır?(2007 ALES Sonbahar Sayısal-1)
A)    B) 7   C) 8   D) 9   E) 11

ÇÖZÜM:  

 48a = 72b
2a = 3b
a/b = 3/2  k orantı sabiti olmak üzere,
a = 3k
b = 2k olur.
a + b = 3k + 2k = 5k  (toplamın en küçük olması için k = 1 alınır)
k = 1 için toplam 5 olur.

Doğru Cevap A Seçeneğidir



Turgut Arslan

Sayılar 2008 ALES Sonbahar Say-1 Soru ve Çözümü

SORU:

x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere,

3x + 5y = 44

eşitliğini sağlayan kaç tane (x,y) ikilisi vardır?(2008 ALES Sonbahar Sayısal-1)

A) 1   B) 2   C) 3   D) 4   E) 5

ÇÖZÜM:

İlk önce 3x + 5y = 44 koşulunu sağlayan en küçük x değeri bulunur.Bunun için x'e 1'den başlayarak pozitif tam sayı değerleri verilir.

x = 1 için,

3 + 5y = 44

5y = 41 olur 41 5'e kalansız bölünemediğinden y tam sayı olarak çıkmaz. Soruda x ve y pozitif tam sayı olarak tanımlanmışlardı bu sebeptn dolayı x = 1 olamaz.

x = 2 için,

3 . 2 + 5y = 44

6 + 5y = 44

5y = 38 olur. 38 5'e kalansız bölünemediğinden y tam sayı olarak çıkmaz. Soruda x ve y pozitif tam sayı olarak tanımlanmışlardı bu sebepten dolayı x = 2 de olamaz.

x = 3 için,

3 . 3 + 5y = 44

9 + 5y = 44

5y = 35

y = 7 bulunur. Soruda verilen şart sağlanmaktadır.

x'in en küçük değeri 3 buna karşılık gelen y değeri ise 7'dir,

Daha sonra (x,y) ikililerini bulmak için x'in değerini denklemdeki y'nin katsayısı kadar artırılır (+5), y'nin değerini ise yine denklemdeki x'in katsayısı kadar azaltılır (-3) ve  diğer sayı ikilileri bulunur.

 x       y 
 3      7
 8      4
13     1

Buna göre istenen (x,y) ikilileri : (3,7) (8,4) (13,1)
Olmak üzere 3 adettir.

Doğru Cevap C Seçeneğidir.



Turgut Arslan

Sayılar Örnek Soru 2

SORU:

(7m - 3) ile (5m + 7) sayıları ardışık tek tam sayılardır. Buna göre m'nin alabileceği değerler toplamı nedir?

ÇÖZÜM:

iki ardışık tek tam sayı arasındaki fark 2'dir.Bu bilgiye istinaden bu iki tek tam sayıyı birbirinden çıkaralım. Ancak (7m - 3) ile (5m + 7)'den hangisinin büyük olduğu tam olarak bilinmediğinden dolayı her iki durum için de hesaplama yapmak gerekir.

Durum 1

(7m - 3) - (5m + 7) = 2

7m - 3 - 5m - 7 = 2

2m - 10 = 2

2m = 12 

m = 6

Durum 2

(5m + 7) - (7m - 3) = 2

5m + 7 - 7m + 3 = 2

-2m + 10 = 2

-2m = -8

m = 4

Her iki durum da toplanarak m için olabilir değerler toplamı bulunur.

6 + 4 = 10

Turgut Arslan

Sayılar 2008 ALES Sonbahar Say-1 Soru ve Çözümü

SORU:

x ve y birer doğal sayı olmak üzere,
y(x + 2) = 6
eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı nedir?(2008 ALES Sonbahar Sayısal 1)
A) 3   B) 4   C) 5   D) 6   E) 7

ÇÖZÜM:

 y(x + 2) = 6 eşitliğinde  y'ye soruda verilen şarta uygun değerler verilir ve bu değerlere karşı gelen x sayıları bulunur.

y = 1 için x = 4

y = 2 için x = 1

y = 3 için x =0

y = 6 için x = -1  bu değeri alamaz çünkü x sorunun başında bir doğal sayı olarak tanımlanmıştı. 

Soruda verilen şartlara uygun x değerleri toplanırsa,

4 + 1 + 0 = 5 bulunur.

Doğru Cevap C Seçeneğidir.

Turgut Arslan

Sayılar Örnek Soru 1

SORU:

a ve b birbirinden farklı pozitif tam sayılardır. 

a.b = 24

olduğuna göre a + b toplamının alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaçtır?

ÇÖZÜM:

a + b toplamının en küçük olabilmesi için a ve b nin birbirine yakın değerler olması gerekir. a.b = 24 'ün çarpanları arasında birbirlerine en yakın olanları 6 ve 4'tür. Buna göre a = 6 ve b = 4 için

a + b = 6 + 4 = 10 en küçük değer olur.

a + b toplamının en büyük olabilmesi için a ve b birbirlerine uzak değerler olmalıdır. 24'ün birbirlerine en uzak olan çarpanları 1 ve 24 tür. Buna göre a = 1 ve b = 24 için

a + b = 1 + 24 = 25 en büyük değer olur.

Soruda bizden a + b toplamının en büyük ve en küçük değerleri arasındaki fark isteniyordu. Bu fark,

25 - 10 = 15 olarak bulunur.

Soruda a ve b sayıları birbirinden farklı ve pozitif tam sayılar olarak tanımlandığı için çözüme ulaşırken negatif değerleri almadık. Özellikle ALES, YGS, SBS ve KPSS gibi sınavlarda bu tip soruları cevaplandırırken verilen sayılarla ilgili tanımlamalara dikkat edin. a, b, x ve y gibi harflerle isimlendirilen bu sayılar; birbirlerinden farklı olmak, negatif ya da pozitif olmak, tam sayı olmak, gerçel sayı olmak gibi özelliklerle nitelendirilirler.Çözerken dikkat edin!!!

Turgut Arslan