Doğal Sayılar

Doğal sayılar, sıfırdan başlayarak sonsuza kadar devam eden sayma sayılarıdır. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ... gibi sayılar doğal sayılardır.

Doğal sayılar, matematikte önemli bir yere sahiptir. Sayısal işlemlerde, geometride ve diğer matematik konularında kullanılırlar.

Doğal Sayıların Özellikleri

Doğal sayıların bazı özellikleri şunlardır:

• Sıfırdan başlarlar ve sonsuza kadar devam ederler.
• Herhangi bir doğal sayının bir sonraki doğal sayısı bir tane fazladır.
• Herhangi iki doğal sayının toplamı da bir doğal sayıdır.
• Herhangi iki doğal sayının farkı da bir doğal sayıdır.
• Herhangi iki doğal sayının çarpımı da bir doğal sayıdır.

Doğal Sayıların Kullanım Alanları

Doğal sayılar, matematikte birçok alanda kullanılır. Sayısal işlemlerde, geometride ve diğer matematik konularında kullanılan doğal sayıların bazı kullanım alanları şunlardır:

Sayısal işlemlerde: Doğal sayılar, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi sayısal işlemlerde kullanılır. Örneğin, 5 + 2 = 7 işleminde, doğal sayılar 5 ve 2 kullanılmaktadır.

Geometrik şekillerde: Doğal sayılar, geometrik şekillerin kenarlarını, açılarını ve diğer özelliklerini belirtmek için kullanılır. Örneğin, bir karenin dört kenarı ve dört köşesi vardır. Bu kenarlar ve köşeler doğal sayılarla gösterilebilir.

Diğer matematik konularında: Doğal sayılar, matematikte birçok diğer konuda da kullanılır. Örneğin, asal sayılar, tam sayılar, karmaşık sayılar gibi sayma kümeleri doğal sayılardan oluşur.

Doğal Sayılarla İlgili Bazı Temel Kavramlar

Doğal sayılar ile ilgili bazı temel kavramlar şunlardır:

• Pozitif sayılar: Sıfırdan büyük olan doğal sayılar pozitif sayılardır. Örneğin, 1, 2, 3, 4, ... gibi sayılar pozitif sayılardır.
• Negatif sayılar: Sıfırdan küçük olan doğal sayılar negatif sayılardır. Örneğin, -1, -2, -3, -4, ... gibi sayılar negatif sayılardır.
• Çift sayılar: Son rakamı 0, 2, 4, 6 veya 8 olan doğal sayılar çift sayıdır. Örneğin, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ... gibi sayılar çift sayıdır.
• Tek sayılar: Son rakamı 1, 3, 5, 7 veya 9 olan doğal sayılar tek sayıdır. Örneğin, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ... gibi sayılar tek sayıdır.

Doğal Sayılarla İlgili Bazı Örnekler

Doğal sayılarla ilgili bazı örnekler şunlardır:

• Bir doğal sayının en yakın çift sayısı: 3'ün en yakın çift sayısı 4'tür.
• Bir doğal sayının en yakın tek sayısı: 5'in en yakın tek sayısı 6'dır.
• Bir doğal sayının bir önceki doğal sayısı: 7'nin bir önceki doğal sayısı 6'dır.
• Bir doğal sayının bir sonraki doğal sayısı: 8'in bir sonraki doğal sayısı 9'dur.
• Bir doğal sayının bir doğal sayı ile toplamı: 2 + 3 = 5.
• Bir doğal sayının bir doğal sayı ile farkı: 5 - 2 = 3.
• Bir doğal sayının bir doğal sayı ile çarpımı: 2 * 3 = 6.

Doğal sayılar, matematikte önemli bir yere sahiptir. Sayısal işlemlerde, geometride ve diğer matematik konularında kullanılan doğal sayılar, günlük hayatımızda da sıklıkla karşımıza çıkar.

SAYILAR | Sayı ve Rakam Tanımı

Sayı Nedir?

Saymak en temel ihtiyaçlarımızdan birisidir. Tüm ihtiyaçlarımızı belirli miktarlar ölçüsünde gidermeye çalışırız. Aldığımız nefes, içtiğimiz su, yediğimiz yemek veya yaşadığımız ortamın sıcaklığı... Tüm bunlar hep belirli ölçülerde olmalılar ki hayatımızı sağlıklı bir şekilde devam ettirebilelim. 

Bu yüzden her şeyin miktarını merak ederiz. Bankada ne kadar param var? Dolapta kaç adet yumurta var? Kaçıncı sınıfta okuyorsun? Eve kaç metre yol kaldı? vs. Tüm bu soruların cevaplarını düşündüğümüzde sayıların hayatımızdaki yerini ve önemini daha iyi kavrarız.

Sayılara önem veririz çünkü yaşadığımız hayatın büyük bir kısmını onlarla ifade ederiz. Eylemlerimiz aslında hep sayısal ölçülere göredir. Bazılarınız düşüncelerimi fazlaca katı ve  duyguklardan uzak bulablir. Ama biraz daha incelikli düşünürseniz, yaşadığımız duyguları bile sayısal ölçülere göre ifade ettiğimizi görebilirsiniz.

Güzel dilimiz Türkçe'de birine "Seni Seviyorum" diyebilmek için toplamda 13 harften oluşan iki kelimeyi düzgünce yan yana getirebilmeniz gerekmektedir. Dört harf ilk kelimeyi oluşturmalı,  kalan dokuz harf ile ikinci kelimeyi tamamlamalısınız. Bir de kelimelerdeki harflerin alfabemizdeki sıra numaraları var. Anlamlı bir kelime oluşturabilmek için uygun sıra numaralı harfleri bir araya getirmeniz gerekiyor. Bu kurallara uymazsak doğru dürüst bir "Seni Seviyorum" bile diyemeyiz. Umarım yeterince açıklayıcı olabilmişimdir.

Bu örnekle, sayılar nezdinde matematiği günlük hayatta nerede kullanacağım? Benim ne işime yarayacak? sorularına da kısa bir cevap vermiş olduğumu düşünüyorum. Şimdi matematiğin temel taşı olan sayılar nasıl ifade edilir? Ona bakalım.

Rakam Nedir?

Sayıları ifade etme ihtiyacımız bizi doğrudan rakam nedir? sorusuna yöneltiyor. Matematiğin en güzel tarafı da budur. Soruların sonu yoktur. Her cevap sizi başka bir soruya yöneltir. Neyse lafı daha fazla uzatmadan rakam nedir? tanımlayalım.

Rakamlar sayıları ifade eden sembollerdir. 

Onları tek başlarına, çeşitli kombinasyonlarla yanyana getirerek(elbise kombin eder gibi) veya özel işaretler kullanarak(+,-,% vb.) farklı anlamlarda kullanır, ifade etmek istediğimiz miktarları belirten sayıları oluştururuz. 

Günümüzde kullanılan 10'luk sayı sisteminde 10 adet rakam bulunmaktadır. Bunlar sırasıyla,

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

dur. Bir sayının tanımlanabilmesi için, en az 1 rakamın kullanılması gerekir. Örneğin, 7 rakamı aynı zamanda 7 sayısıdır.

Her rakam(topu topu 10 taneler) bir sayıdır ama her sayı bir rakam değildir. "4" bir sayıdır. "14" te bir sayıdır. Ancak rakam değildir. 14, 1 ve 4 rakamlarının bir araya gelerek 10'luk sistemde yazılmasıyla oluşan bir sayıdır.

Sayi Problemi ALES 2008 Say -1 Sorusu

Soru:
İki doğal sayının çarpımı, bu sayıların dörder fazlasının çarpımından 52 eksiktir.
Bu iki sayının toplamı kaçtır?

A) 5  B) 6  C) 7  D) 8  E) 9

Çözüm:

Soruda verilen ifadeyi bir denkleme dönüştürerek çözüme başlayalım. Soruda bahsedilen doğal sayılardan biri için x, diğeri için y dersek ve şartları uygularsak denklemimiz şu şekilde olur.

(x + 4).(y + 4) - 52 = x.y

Denklemdeki çarpma işlemini yapalım

xy + 4x + 4y + 16 - 52 = xy

Denklemin her iki tarafındaki xy'ler birbirlerini götürür.

4x + 4y + 16 - 52  = 0
4x + 4y - 36 = 0
4x + 4y = 36
4(x + y) = 36
x + y = 9 bulunur.

Doğru cevap E seçeneğidir.

Maliyet Nasıl Hesaplanır

Bu çalışmada özellikle ticaretle uğraşanların aşina oldukları bir probleme değinmek istiyorum. Öğrencilerin kar zarar problemleri içinde işledikleri bir konu. Satış fiyatı ve kar oranı bilinen bir malın alış fiyatını yani maliyetini hesaplamayı ayrıntılı bir şekilde anlatmaya çalışacağım

Bir Malın Satış Fiyatından Maliyetinin Hesaplanması

Satılan bir malın kar oranı ve satış fiyatı biliniyorsa bu bilgiler kullanılarak maliyeti hesaplanabilir.

Elimizde 236 TL ye sattığınız bir mal olduğunu düşünün.  Bu malın kar oranı %18 olsun.  Bu bilgilerden yola çıkarak malın alış fiyatını hesaplamak istersek şöyle düşünmeliyiz,
Birim fiyat üzerinden hesaplama yapmak istersek:

100 TL ilk bir malı %18 karla satmak istersek önce,  alış fiyatını 0.18 ile çarpıp kar miktarını buluruz.  Sonra da bunu alış fiyatına ekleyerek satış fiyatını buluruz.

Burada 100 + ( 100 x 0.18) = 118 TL

Şimdi bulduğumuz satış fiyatını alış fiyatına bölerek karlı satış oranını hesaplayalım

118 / 100 =1.18

Eğer bir malın satış fiyatını karlı satış oranına bölerseniz alış fiyatını diğer bir deyişle maliyetini bulursunuz

118 / 1.18 = 100 TL

bizim alış fiyatımızdı. Şimdi bunu başlangıçtaki fiyat için uygulayalım

236 / 1.18 =  200 TL  bizim maliyetimiz olur.
Bunu sağlamak için %18 ini alıp üstüne ekleyerek sonucu görebilirsiniz. Buna göre genel olarak maliyeti hesaplama formülü

Maliyet  = Satış Fiyatı / Karlı Satış Oranı 

şeklinde ifade edilebilir.  Burada,

Karlı satış oranı = (100 + Kar yüzdesi) / 100

Şeklinde hesaplanır

3 Basamaklı 5'e Bölünebilen Eleman Sayısı

Soru: 

Üç basamaklı 5 ile tam olarak bölünebilen rakamları farklı kaç sayı vardır?

Çözüm:

Önce sayı kümemizin elemanlarını yazalım,

Sayılar= (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) toplamda 10 eleman var bunları 3 basamaklı sayılarımıza dağıtacağız.

5 ile bölünebilme kuralı nedir? 

Bir sayının 5 ile kalansız bölünebilmesi için son basamağı 0 veya 5 olmalı.

Sayımızı oluşturalım. İlk olarak birler basamağı 0 olsun. bu durumda sayımız aşağıdaki gibi olacaktır.

(_)(_)(0)

Elimizde 10 tane sayı vardı. Bir tanesini yani sıfırı ilk basamağa yerleştirdik kaldı 9 sayı. Yüzler basmağına 9 farklı sayı gelebilir. Bu sayılardan birini yüzler basamağına yazınca onlar basamağına soruda rakamları farklı ibaresi olduğu için 8 farklı sayı kalır. Bu durumda yüzler basamağı için 9 ve onlar basamağı için 8 farklı ve birler basamağı için 1 olmak üzere sonu sıfır ile biten 5'e bölünebilen rakamları farklı

9 x 8 x 1 = 72 farklı sayı yazılabilir.

Şimdi de birler basamağına 5 yazalım,

(_)(_)(5)

Bu durumda yine diğer basamaklara yerleştirilecek sayıları  9 sayı arasından seçeriz ancak burada dikkat edilmesi gerekn bir durum var. Yüzler basamağına sıfır sayısını koyamayız. Çünkü sıfırı yüzler basamağına yazarsak sayımız artık iki basamaklı olur. Bu sebepten yüzler basamağına 8 farklı sayı yazılabilir. Şimdi düz hesaba göre gidersek onlar basamağına da rakamları farklı şartından dolayı 7 rakam yazılmalıdır. Ancak burada da dikkat edilmesi gereken bir nokta var. sıfır sayısını birler basamağına koymamıştık. yüzler basamağına da koyamadık yani elimizde kaldı. Bunu onlar basamağına koyabiliriz. Bu durumda 3 basamaklı sayı şartı da bozulmaz.  O zaman onlar basmağına 7 + 1 = 8 farklı sayı gelir. Son duruma göre olası sayıları hesaplamak istesek,

8 x 8 x 1 = 64 farklı sayı yazılır.

Rakamları birbirinden farklı 5 ile bölünebilen 3 basamaklı toplam

 72 + 64 =136 adet sayı vardır

Rasyonel Sayılar ALES 2007 İlkbahar Sayısal 1 Soru ve Çözümü

Soru:

0 < y < x olduğuna göre y/x aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) 3/4
B) 6/5
C) 3/7
D) 2/9
E) 10/11

Cevap:
Soruda verilen şarta bakacak olursak y sayısının x'ten küçük olduğunu görürürüz. Buna göre y/x sayısı payı küçük, paydası büyük olan bir sayı olmalıdır. Bu tip payı paydasından küçük olan kesirli sayılara basit kesirler denir. Verilen şıklar incelendiğinde,

6/5 rasyonel sayısının bu şartı sağlamadığı görülür. 6/5 basit değil, bileşik kesirdir. Payı paydasından büyük olan rasyonel sayılar bileşik kesirler olarak adlandırılırlar.

Sorunun yanıtı B seçeneğidir. 

2011 ALES Sonbahar Sayısal Sorusu Denklem Kurma

Soru:

Bir parça telin ucundan telin 1/5'i kadar kesiliyor. Telin orta noktası eski durumuna göre 4cm kayıyor.

Buna göre telin tamamı kaç cm'dir?

A) 35
B) 45
C) 40
D) 50
E) 55

Cözüm:

Telin uzunluğu x cm olsun.

1/5'i kesilirse x - x/5 = 4x/5 cm kalır.

4x/5 cm'lik bir telin orta noktası 2x/5 cm olur.

Telin kesilmeden önceki orta noktası x/2 cm'deydi.

Soruda yeni orta noktanın eskisine göre 4 cm kaydığı bilgisi verilmiş. Buna göre eski orta noktanın konumundan yeniyi çıkararak bizi çözüme ulaştıracak olan denklemi kuralım.

x/2 - 2x/5 = 4

(5x-4x)/10 = 4 (Paydalar eşitlendi)

x/10 = 4 eşitliğinden telin uzunluğu

x = 40 cm bulunur.

Doğru cevap C seçeneğidir.

KPSS 2000 GENEL YETENEK Gerçel Sayılar Çıkmış Soru ve Çözümü

soru: a ve b gerçel( reel) sayılar ve
a^2 < a
a.b < 0
olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) a<0
B) b>0
C) b<0
D) a<b
E) a=b


Çözüm:
a^2<a ise a 0 ile 1 arasında bir kesirli sayı olmalıdır. 0<a<1
Neden? Hemen bir örnekle açıklayalım;
a= 1/2 olsun a' nın karesi (1/2)^2=1/4 olur ve
1/4 < 1/2 olur. Bu tüm basit kesirli sayılar için böyledir. Buradan aynı zamanda a sayısının pozitif bir sayı olduğunu da anlıyoruz. Neyse biz sorumuzun çözümüne dönelim.
a.b<0 ise a pozitif olduğundan
 b<0 sonucuna ulaşırız.


Doğru yanıt C seçeneği olur.

Trigonometrik Toplam ve Fark Formülleri

Trigonometrik hesaplamalarda sadeleştirmeler yapmak için kullanılan toplam ve fark formüllerini aşağıda sıralıyorum. Hepinize Yardımcı olması dileğiyle....

--Sinüs Formülleri--

sin(a+b)'nin açılımı:

sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

sin(a-b)'nin açılımı:

sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb


--Cosinüs Formülleri--

cos(a+b)'nin açılımı:

cos(a + b) = cosa.cosb - sina.sinb

cos(a-b)'nin açılımı:

cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb

--Tanjant Formülleri--

tan(a+b)'nin açılımı: 

tan(a + b) = (tana + tanb)/(1 - tana.tanb)

tan(a-b)'nin açılımı: 

tan(a - b) = (tana - tanb)/(1 + tana.tanb)

--Cotanjant Formülleri--

cot(a+b)'nin açılımı: 

cot(a + b) = (cota.cotb - 1)/(cota + cotb)

cot(a-b)'nin açılımı: 

cot(a - b) = (cota.cotb + 1)/(cotb - cota)

İşçi Problemleri 2008 ALES İlkbahar Sayısal-1 Soru 3

SORU:

Ali bir işi Birol'ün 3 katı sürede tamamlayabilmektedir.
İkisi beraber aynı işin yarısını 3 günde tamamlayabiliyorlarsa Ali işin 3/4'ünü tek başına kaç günde yapar?(2008 ALES İlkbahar Sayısal-1)

A) 12   B) 15   C) 18   D) 21   E) 24

ÇÖZÜM:

Birolün işi tamamlama süresine X gün diyelim. Buna göre Ali'nin işi tamamlama süresi 3X olacaktır. İkisi beraber bir işin yarısını 3 günde, tamamını ise 6 günde yapmaktadırlar. şimdi bu hesaplamayı yapan denklemi kuralım,

1/3X + 1/X = 1/6
1/3X + 3/3X = 1/6
4/3X = 1/6 Buradan
X = 8 bulunur.
Ali bu işi 3 . 8 = 24 günde yapar.
Aynı işin 3/4'ünü ise
3/4 . 24 = 18 günde yapar

Doğru cevap C seçeneğidir.

Turgut Arslan

İşçi Problemleri 2008 ALES İlkbahar Sayısal-1 Soru 2

SORU:

Ahmet bir işin 2/3'ünü 8 saatte, İsmail aynı işin 1/6'sını 1 saatte yapmaktadır.
Buna göre ikisi beraber aynı işin yarısını kaç satte yaparlar?(2008ALES İlkbahar Sayısal-1)

A) 1,5   B) 2   C) 2,5   D) 3,5   E) 4

ÇÖZÜM:

Ahmet,

Bir işin 2/3'ünü 8 saatte tamamlarsa,
3/3'ünü(Tamamını) X saatte tamamlar(Doğru Orantı)

2/3 . X = 8 . 3/3

X = 12 saatte tamamlar.

İsmail,

Aynı işin 1/6'sını 1 saatte tamamlarsa,
6/6'sını(Tamamını) Y saatte tamamlar(Doğru Orantı)

1/6 . Y = 1 . 6/6

Y = 6 saatte tamamlar.

İkisi birlikte,

1/12 + 1/6 = 1/t

1/12 + 2/12 = 1/t

3/12 = 1/t

t = 4 saatte tamamın yaparlar

Yarsını ise 4/2 = 2 saatte yaparlar

Doğru cevap B seçeneğidir.

Turgut Arslan

İşçi Problemleri 2008 ALES İlkbahar Sayısal-1 Soru ve Çözümü

SORU:

Bir paket yemle bir kanarya 60 gün, bir güvercin 20 gün beslenmektedir.
Bu yemle iki kuş kaç gün beslenir?(2008-3 ALES Sayısal-1)

A) 10   B) 12   C) 14   D) 15   E) 16

ÇÖZÜM:

Öncelikle kuşların gün başına düşen yem tüketimlerini hesaplamalıyız.

Kanarya bir paket yemin 1 günde 1/60'ını tüketir.
Güvercin bir paket yemin 1 günde 1/20'sini tüketir.

Şimdi ikisinin beraber bir günde bir paket yemin ne kadarını bitirebileceklerini hesaplayalım.

1/60 + 1/20 = 1/60 + 3/60 (Rasyonel sayılarda toplama kuralı gereği pay ve paydası 3 ile çarpılarak genişletildi)

Sonuç = 4/60 = 1/15 çıkar

İki kuş beraber bir paket yemin 1/15'ini tüketirler.

Bir paket yemin tamamının tüketilme süresi 15 gün olur

Doğru yanıt D seçeneğidir.

Turgut Arslan

Kolayca İngilizce Öğrenin

Birinci Dereceden Denklemler 2007 KPSS Lisans Soru ve Çözümü

SORU:

Bir sayının 8 ile çarpımı 3 ile çarpımından 175 fazladır.
Buna göre bu sayı kaçtır?(2007 KPSS Lisans)

A) 25   B) 30   C) 35   D) 40   E) 45

ÇÖZÜM:

Soruda verilen ve ne olduğunu bilmediğimiz bu sayıya x diyelim. Sorudaki tarife göre x sayısı için bir denklem yazalım.

8x = 3x + 175
Şimdi bu denklemi çözelim.
8x - 3x = 175
5x = 175
x = 35

Doğru Cevap C seçeneğidir.

Turgut Arslan

Ardışık Sayılar 2008 KPSS Soru ve Çözümü

SORU:

5'e bölündüğünde 2 kalanını veren 200 den küçük üç basamaklı tüm doğal sayıların toplamı kaçtır?(2008 KPSS)

A) 3120   B) 3140   C) 2090   D) 3290   E) 3310

ÇÖZÜM:

5' e bölündüğünde 2 kalanını veren üç basamaklı doğal sayıların oluşturduğu srdışık seri şu şekilde olmalıdır,
102 + 107 + 112 +......+197
Soruda bizden istenen toplam, bu serinin toplamıdır.
Ardışık sayı dizilerinin ortak özelliği dizi elemanlarının artım miktarlarının sabit olmasıdır. yukarıdaki diziyi incelersek;
107 - 102 = 5 (Artım Miktarı)
112 - 107 = 5 (Artım Miktarı)
Görüldüğü gibi bu dizideki artım miktarı sabit olup bu miktar 5 tir.
Ardışık Sayıların Toplamı = [(İlk Terim + Son Terim)/2] x Terim Sayısı
formülü ile hesaplanır.
Burada ilt terim ve son terim bilinmektedir. Bulmamız gereken Terim Sayısı dır.
Terim Sayısı = [(Son Terim - İlk Terim)/Artış Miktarı] + 1
formülü ile hesaplanır.
Şimdi ilk olarak terim sayısını hesaplayalım,
Terim Sayısı = [(197 - 102) / 5] +1 = 20  Bulduğumuz Terim Sayısı Toplama formülünde yerine konursa, Toplam = [(102 + 107)/2] x 20 = 2090 olarak bulunur. Doğru Cevap C seçeneğidir.

Turgut Arslan

Tam Kare İfadeler 2008 KPSS Soru ve Çözümü

SORU:

a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere,
a3 - b3 = 19
olduğuna göre, a2 - b2 kaçtır?(2008 KPSS)

A) 5   B) 9   C) 10   D) 13   E) 17

ÇÖZÜM:

a3 - b2 = 19
(a - b).(a2 + ab + b2) = 19
Bu denklemin sağ tarafı 19'a eşit. 19 bir asal sayıdır ve bu asal sayının çarpanları 1 ile 19 sayılarıdır. Buna göre denklermin sol tarafındaki çarpanları 1 ve 19 sayılarına eşitlememiz gerekir.
(a - b) = 1 ve (a2 + ab + b2) = 19 olur.
Şimdi ilk ifadede eşitliğin her iki tarafının da karesini alalım
(a - b)2 = 12
a2 - 2ab + b2 = 1
İkinci denklemde kareli değişkenler eşitliğin sağ tarafına atılır ve ab sayısı için,
ab = 19 - a2 - b2 eşitlği elde edilir.
Bu eşitlik ilk denklem için elde ettiğimiz kareli ifadede yerine koyulursa.
a2 - 2(19 - a2 - b2) + b2 = 1 denklemi elde edilir.
Denklem üzerinde gerekli işlemler yapılırsa,
3(a2 + b2) = 39
a2 + b2 = 13 şeklinde soruda istenen eşitlik elde edilir.
Doğru Cevap D seçeneğidir.

Turgut Arslan

Sayılar Örnek Soru 3

SORU:

a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakam olmak üzere,
8a - 5b + 2c
ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri nedir?

ÇÖZÜM:

a,b ve c birer rakam olduklarına göre alabilecekleri değerler kümesi şu şekildedir,
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) bu kümeden soruda verilen denklemi en küçük yapmak üzere,
a = 0
b = 9
c = 1
Değerleri seçilirse sonuç,
8 . 0 + 5 . 9 + 2 . 1 = - 43 bulunur.



Turgut Arslan

İkinci Derece Denklemler Örnek Soru 1

SORU:

a ve b doğal sayılar olmak üzere,

a2 - b2 = 17

olduğuna göre a.b çarpımının değeri nedir?

ÇÖZÜM:

a2 - b2 = (a - b).(a + b) tam kare denklemi
a2 - b2 = 17 (a - b).(a + b) = 17 (17 asal sayıdır ve çarpanları 1 ve 17 dir.) buna göre,
a - b = 1
a + b = 17
2a = 18
a = 9
a'nın değeri denklemde yerine koyulur ve b bulunur
9 - b = 1
-b = 1 - 9
-b = -8
b = 8 olur.
Buna göre a.b çarpımı,
9.8 = 72 olarak bulunur.



Turgut Arslan

Sayılar Örnek Soru 2

SORU:

(7m - 3) ile (5m + 7) sayıları ardışık tek tam sayılardır. Buna göre m'nin alabileceği değerler toplamı nedir?

ÇÖZÜM:

iki ardışık tek tam sayı arasındaki fark 2'dir.Bu bilgiye istinaden bu iki tek tam sayıyı birbirinden çıkaralım. Ancak (7m - 3) ile (5m + 7)'den hangisinin büyük olduğu tam olarak bilinmediğinden dolayı her iki durum için de hesaplama yapmak gerekir.

Durum 1

(7m - 3) - (5m + 7) = 2

7m - 3 - 5m - 7 = 2

2m - 10 = 2

2m = 12 

m = 6

Durum 2

(5m + 7) - (7m - 3) = 2

5m + 7 - 7m + 3 = 2

-2m + 10 = 2

-2m = -8

m = 4

Her iki durum da toplanarak m için olabilir değerler toplamı bulunur.

6 + 4 = 10

Turgut Arslan

Faktöriyel Örnek Soru 1

SORU:

(n+1)! / (n-1)! =6 ise n nedir?

ÇÖZÜM:

(n+1)! / (n-1)! =6 denkleminde paydaki (n + 1)! ifadesini (n - 1)!'e kadar açalım.
(n+1).(n).(n-1)! /(n-1)!  = 6
n.(n+1) = 6
n2 + n - 6 = 0 şeklinde bir ikinci dereceden denklem elde ederiz. Şimdi bu denklemi çözelim.
n           -2   denklem çarpanlarına ayrılır.
n            3

(n-2).(n+3) = 0 ise (n-2) = 0 ve (n + 3) = 0 olur buna göre
n = 2 ve n = -3 bulunur.

Denklemin çözüm kümesi Ç = {-3, 2} olur.



Turgut Arslan

Kar Zarar Problemi 2007 ALES İlkbahar Say-1 Soru ve Çözümü

SORU:

Bir ürünün maliyetinin %20'si işçi ücretlerinden oluşmaktadır.
İşçi ücretlerine %125 zam yapılırsa yeni maliyetin yüzde kaçı işçi ücretlerinden oluşur?(2007 ALES İlkbahar Sayısal 1)
A) 36   B) 32 C) 30   D) 28   E) 25

ÇÖZÜM:

Ürün maliyetini 100 TL olarak kabul edersek bunun %20 si yani,
100 . (20/100) = 20 TL işçi ücreti olur.
100 - 20 = 80 TL diğer masraflar

 İşçi ücretine %125 zam yapılırsa,

20 + 20.(125/100) = 45 TL zamlı işçi ücreti olur.

Yeni maliyetimiz ise

 Diğer Masraflar +  Zamlı işçi ücreti

80 + 45 = 125 TL Yeni maliyetimiz olur.

125 TL nin      45 TL si işçi maliyeti ise,
100 TL nin        x TL si işçi maliyet olur (Doğru Orantı)
                                   
125.x = 100.45
x = 36 bulunur.

Doğru Cevap A Seçeneğidir.



Turgut Arslan