Mutlak Değer 2008 KPSS Soru ve Çözümü

SORU:

a < a2 < |a|
eşitsizliğinin gerçeklenebilmesi için a aşağıdaki aralıkların hangisinde olmalıdır?(2008 KPSS)

A) (-∞, 1)   B) (-∞, 0)   C) (-1, 0)   D) (0, 1)   E) (0, +∞)

ÇÖZÜM:

İlk olarak eşitsizliğin en solundan incelemeye başlayalım,

a < a2

Bir sayının karesi kendisinden daima büyüktür buna göre a pozitif veya negatif herhangi bir sayı olabilir.

a2 < |a|

bir sayının karesinin, mutlak değerinden küçük olması için o sayının bir rasyonel(kesirli) sayı olması gerekir.

Örnek olarak a = 1/2 olsun,

(1/2)2 = 1/4

1/4 < |1/2|

a2 < |a|

eşitsizliği sağlanır.

Buraya dikkat!

Şimdiye kadar elde ettiğimiz verilerden yola çıkarak a'nın (0, 1) aralığında bir sayı olması gerektiği kanısına kapılabiliriz. Ancak şunu unutmayın henüz a'nın işaretini tam olarak belirlemedik!!!

Kesin olan tek bilgi a'nın rasyonel olduğudur. a'nın işaretini bulmak için yeniden eşitsizliğin el sol kısmına dönelim.

a < a2 eşitsizliği için artık a'nın rasyonel bir sayı olduğunu biliyoruz. Bildiğiniz gibi rasyonel sayılarda payda büyüdükçe sayı küçülür (Örn; 1/4 < 1/2). Bir rasyonel sayının karesinin kendisinden büyük olabilmesi için o sayının negatif olması gerekir.

Örneğin a = -1/2 olsun 

(-1/2)2 = 1/4

-1/2 < 1/4

Buna göre a = -1/2 için soruda verilen eşitsizliğin tüm şartlarını birleştirirsek,

-1/2 <(-1/2)2 < |-1/2| elde edilir. 

a < a2 < |a| olabilmesi için 

-1 < a < 0 aralığında olmalıdır.

Doğru Cevap C Seçeneğidir.

Turgut Arslan

Mutlak Değer 2009 KPSS Soru ve Çözümü

SORU:

x ∈ R ve x<1/4 olmak üzere,
|3x - |x -1|| - 2
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?(2009 KPSS)
A) -4x - 3   B) -4x - 1   C) 4x - 3   D) 4x + 1   E) 4x + 3

ÇÖZÜM:

Öncelikli olarak |x - 1| ifadesinin mutlak değer dışına nasıl çıkması gerektiğini bulmalıyız.
soruda verilen x < 1/4 şartında eşitsizliğin her iki tarafından 1 çıkaralım.
x - 1 <1/4 - 1
x - 1 < - 3/4 olarak bulunur. Bu |x - 1| mutlak değerinin içinin negatif olduğunu gösterir. Negatif sayıların mutlak değerini bulmak için -1 ile çarparız. Buna göre ,
|x - 1| = -1.(x - 1) = 1 - x  olur.  Bulduğumuz bu değeri soruda verilen ifade içindeki yerine yazalım.
|3x - (1 - x)| - 2 = |3x -1 + x| - 2
|4x - 1| - 2  (1)
Şimdi bu ifadede mutlak değerin durumunu öğrenebilmemiz için 4x'i incelememiz gerekir.
Soruda x < 1/4 şartı verilmişti burdan hareketle
x < 1/4
4x < 1 bulunur.
4x 1'den küçük olduğu için mutlak değerin içi negatif olur.
|4x - 1| = -1.(4x - 1) = 1 - 4x bulunur ve (1) ifadesinde yerine yazlırsa,
 1 - 4x - 2 = -4x -1
sonucuna ulaşılır.

Doğru Cevap B Seçeneğidir.


Turgut Arslan

Mutlak Değer

Mutlak Değer Nedir?

Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusu üzerinde 0'a olan uzaklığıdır. Bir sayının mutlak değeri "| |" sembolü ile gösterilir.

Örnek: |3|, |-5|, |x-z|

Mutlak Değerin Özellikleri

x,y,z ∈ R olmak üzere

1.  |x|≥ 0 dır yani mutlak değer her zaman sıfırdan büyüktür. Sadece x=0 ise |x|=0 olur.
2. |-x| = |x| dir.
3. |x.y| =|x|.|y|
4. |x/y| =|x|/|y| (y≠0)
5. z>0 olmak şartıyla, |x|<z ise -z<x<z dir.
6.  |x|>z ise x>z veya x<-z dir.
7. |x + y|≤|x| + |y
8. ||x| - |y|| ≤ |x - y|
9. |x|2 = |x2| = x2
10. x ∈ R ve n bir çift sayı olmak üzere (xn)1/n = |x| dir.
    Örnek:(x2)1/2 = |x|
    

Örnek:
x < 4 ise |2x - |x-4|| neye eşittir?
Çözüm
x < 4 ise |x - 4| = -1.(x - 4) = 4 - x olur. Soruda verilen ifadede yerine koyarsak.
|2x - (4 - x)|
|2x -  4 + x|
|x - 4| olur ve soruda x için verilen şartı da uygularsak,
sonuç;
4 - x bulunur


Turgut Arslan