Taban Aritmetiği

Sayı Tabanı Nedir?

Bilindiği gibi sayılar çokluk bildirmek için kullanılan rakamlardır. Sayıları kullanarak varlıkların miktarlarını belirtiriz. 5 elma, 20 kilo muz, 10 kilometre yol gibi ifadelerde varlığın ya da bahsedilen ölçünün miktarını hep sayılarla bildiriyoruz. Sayılar ise belirli bir sistemle yazılırlar. İkilik sistem, beşlik sistem onluk sistem gibi... Bu sistemler aslında belirli bir kurala göre yazılmış sayı kümeleridir. Sistemin ismini veren sayı, kümeyi oluşturan sayı dizisinin sınırını ve o dizideki eleman sayısını belirtir. Sözgelimi,

5 lik sistemin sayı kümesi {0, 1, 2, 3, 4 } şeklindedir. Bu sistemde 5 sayısı kullanılamaz. 5 sistemin sınırıdır ve yine bu sistemdeki eleman sayısına bakacak olursak toplamda 5 adet elemanın olduğunu görüyoruz. 

10'luk sistem için de durum aynıdır. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } gördüğünüz gibi onluk sistemin içinde 10 sayısı yoktur. Küme elemanlarını saydığımızda yine sistemin ismini veren sayı ile aynı olduğunu görürüz. 10'luk sistemde on tane eleman vardır. Bu durum diğer sistemlerde de aynıdır.

İşte bu sistemlere isimlerini veren, onları sınırlayan sayılara matematikte "Sayı Tabanı" denilmektedir. Genel olarak yazımı şu şekildedir.

a, b, c, ve n birer sayı olmak üzere

(abc)n n burada sayı tabanıdır.
5 lik sistemde bir sayı şu şekilde yazılır.
(23401)5

Sayı Tabanları Nasıl Çevrilir?

Sayı tabanları ile ilgili üç tür çevirme işlemi yapılır.

1. Herhangi bir tabandaki sayıyı 10 tabanına çevirmek
2. 10 tabanındaki bir sayıyı başka bir tabana çevirmek
3. Bir tabandaki sayıyı başka bir tabana çevirmek

1. Herhangi bir tabandaki sayıyı 10 tabanına çevirmek

Bu işlem için şöyle bir dönüşüm kuralı uygulanır;
(.....abc)n = (....)10
......+ an2 + bn1 + cn0 = (....)10

Örnek:
(165)7 sayısının 10 tabanındaki karşılığı nedir?
(165)7 = 1x72 + 6x71 + 5x70
(165)7 = 49 + 42 + 5 = 96 olur.

2. 10 tabanındaki bir sayıyı başka bir tabana çevirmek

(..abc)10 = (.....)n
Onluk tabandaki bir sayıyı herhangi bir n tabanına çevirebilmek için, Onluk tabandaki sayı, çevrilmek istenen n sayısına bölünür. Elde edilen bölüm n sayısından büyük ise bu sayı da n sayısına bölünür ve bu işlemler bölüm kısmındaki sayı n sayısından küçük oluncaya kadar devam eder. En son bölüm sayısı n ile bölünemiyorsa o sayıdan başlayarak, geriye doğru yapılan bölme işlemlerinden kalanlar sağdan sola doğru sıralanır ve bu sıra soldan sağa doğru n tabanındaki parantez içine yazılır. 10 tabanındaki bir sayıyı n tabanına çevirme işlem basamakları aşağıdaki grafikte gösterilmektedir.

3. Bir tabandaki sayıyı başka bir tabana çevirmek

Herhangi bir n tabanındaki sayıyı m tabanındaki başka bir sayıya çevirmek için ilk önce n tabanındaki sayı 10 tabanına çevrilir. Sonra bulunan sayı m tabanına çevrilir. bu şekilde çevirme işlemi tamamlanmış olur.

Turgut ARSLAN