İşçi Problemleri 2008 ALES İlkbahar Sayısal-1 Soru 3

SORU:

Ali bir işi Birol'ün 3 katı sürede tamamlayabilmektedir.
İkisi beraber aynı işin yarısını 3 günde tamamlayabiliyorlarsa Ali işin 3/4'ünü tek başına kaç günde yapar?(2008 ALES İlkbahar Sayısal-1)

A) 12   B) 15   C) 18   D) 21   E) 24

ÇÖZÜM:

Birolün işi tamamlama süresine X gün diyelim. Buna göre Ali'nin işi tamamlama süresi 3X olacaktır. İkisi beraber bir işin yarısını 3 günde, tamamını ise 6 günde yapmaktadırlar. şimdi bu hesaplamayı yapan denklemi kuralım,

1/3X + 1/X = 1/6
1/3X + 3/3X = 1/6
4/3X = 1/6 Buradan
X = 8 bulunur.
Ali bu işi 3 . 8 = 24 günde yapar.
Aynı işin 3/4'ünü ise
3/4 . 24 = 18 günde yapar

Doğru cevap C seçeneğidir.

Turgut Arslan

Sayılar Örnek Soru 1

SORU:

a ve b birbirinden farklı pozitif tam sayılardır. 

a.b = 24

olduğuna göre a + b toplamının alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaçtır?

ÇÖZÜM:

a + b toplamının en küçük olabilmesi için a ve b nin birbirine yakın değerler olması gerekir. a.b = 24 'ün çarpanları arasında birbirlerine en yakın olanları 6 ve 4'tür. Buna göre a = 6 ve b = 4 için

a + b = 6 + 4 = 10 en küçük değer olur.

a + b toplamının en büyük olabilmesi için a ve b birbirlerine uzak değerler olmalıdır. 24'ün birbirlerine en uzak olan çarpanları 1 ve 24 tür. Buna göre a = 1 ve b = 24 için

a + b = 1 + 24 = 25 en büyük değer olur.

Soruda bizden a + b toplamının en büyük ve en küçük değerleri arasındaki fark isteniyordu. Bu fark,

25 - 10 = 15 olarak bulunur.

Soruda a ve b sayıları birbirinden farklı ve pozitif tam sayılar olarak tanımlandığı için çözüme ulaşırken negatif değerleri almadık. Özellikle ALES, YGS, SBS ve KPSS gibi sınavlarda bu tip soruları cevaplandırırken verilen sayılarla ilgili tanımlamalara dikkat edin. a, b, x ve y gibi harflerle isimlendirilen bu sayılar; birbirlerinden farklı olmak, negatif ya da pozitif olmak, tam sayı olmak, gerçel sayı olmak gibi özelliklerle nitelendirilirler.Çözerken dikkat edin!!!

Turgut Arslan

Faktöriyel Örnek Soru 1

SORU:

(n+1)! / (n-1)! =6 ise n nedir?

ÇÖZÜM:

(n+1)! / (n-1)! =6 denkleminde paydaki (n + 1)! ifadesini (n - 1)!'e kadar açalım.
(n+1).(n).(n-1)! /(n-1)!  = 6
n.(n+1) = 6
n2 + n - 6 = 0 şeklinde bir ikinci dereceden denklem elde ederiz. Şimdi bu denklemi çözelim.
n           -2   denklem çarpanlarına ayrılır.
n            3

(n-2).(n+3) = 0 ise (n-2) = 0 ve (n + 3) = 0 olur buna göre
n = 2 ve n = -3 bulunur.

Denklemin çözüm kümesi Ç = {-3, 2} olur.



Turgut Arslan

Kar Zarar Problemi 2007 ALES İlkbahar Say-1 Soru ve Çözümü

SORU:

Bir ürünün maliyetinin %20'si işçi ücretlerinden oluşmaktadır.
İşçi ücretlerine %125 zam yapılırsa yeni maliyetin yüzde kaçı işçi ücretlerinden oluşur?(2007 ALES İlkbahar Sayısal 1)
A) 36   B) 32 C) 30   D) 28   E) 25

ÇÖZÜM:

Ürün maliyetini 100 TL olarak kabul edersek bunun %20 si yani,
100 . (20/100) = 20 TL işçi ücreti olur.
100 - 20 = 80 TL diğer masraflar

 İşçi ücretine %125 zam yapılırsa,

20 + 20.(125/100) = 45 TL zamlı işçi ücreti olur.

Yeni maliyetimiz ise

 Diğer Masraflar +  Zamlı işçi ücreti

80 + 45 = 125 TL Yeni maliyetimiz olur.

125 TL nin      45 TL si işçi maliyeti ise,
100 TL nin        x TL si işçi maliyet olur (Doğru Orantı)
                                   
125.x = 100.45
x = 36 bulunur.

Doğru Cevap A Seçeneğidir.



Turgut Arslan

Olasılık Örnek Soru 2

SORU:

Bir tabakta 6 armut ve 5 tane elma vardır. Tabaktan rastgele bir meyve alınacaktır. Alınan meyvanın elma olma olasılığı kaçtır?

ÇÖZÜM:

Tabakta toplamda 6 + 5 = 11 adet meyve vardır. Yanzi bizim örnek uzayımızı oluşturan tüm durumlar 11 elemanlı bir küme oluşturur. Soruda istenen elma olma durumu 5 elemanlı bir kümedir(5 adet elma olduğundan dolayı). Bu durmda tabaktan rastgele alınan meyvanın elma olma olasılığı P(E), 11 de 5'tir.

P(E) = 5/11 olur.

Turgut Arslan

Olasılık Örnek Soru 1

SORU:

Bir madeni para ard arda iki kez havaya atıldığında iki defa üst üste tura gelmesi olasılığı nedir?

ÇÖZÜM:

Madeni paranın iki yüzü olduğundan her seferinde gerçekleşebilir iki ihtimal vardır. Yazı veya tura gelebilir. 

Bir kez havaya atıldığında tura gelme ihtimali bu iki ihtimalden sadece biridir. Yani 1/2

İki kez ard arda havaya attığımızda tura gelme ihtimali ise,

(1/2).(1/2)= 1/4 tür.

Turgut Arslan

Karışım Problemleri Örnek Soru 1

SORU:

%10'u tuz olan 39 gr tuzlu su çözeltisinin 10 gramında kaç gram tuz vardır?

ÇÖZÜM:

Çözeltinin miktarı değişse de içindeki tuz oranı aynı kalır. Sadece tuz miktarı çözelti miktarına bağlı olarak değişir. %10'u tuz olan bir çözeltinin 10gramında da 39 gramında da tuz yüzdesi aynıdır. Aynı çözeltinin 10 gramındaki tuz miktarını hesaplamak için çözelti miktarı ile tuz yüzdesini çarpmamız yeterlidir. Buna göre tuz miktarımız,

10.(10/100) = 1 gram olacaktır.

Turgut Arslan

Faktöriyel Kavramı ( n! )

Faktöriyel aslında özel bir çarpım serisidir. n pozitif bir doğal sayı olmak üzere, 1'den n'ye kadar olan sayıların çarpımı n! şeklinde gösterilir.

Faktöriyelin en genel ifadesi

n!= 1.2.3.4.5...........(n - 1).n

şeklindedir.

Ardışık Sayılarda Toplama İşlemi

Verilen bir ardışık sayı dizisi için, n dizideki eleman(terim) sayısı olmak üzere,

Terim sayısı = [ (Son Terim - İlk Terim) / Artış Miktarı] + 1

Toplam = (Terim Sayısı / 2) . (Son Terim + İlk Terim)

şeklinde hesaplanır.

1'den n'ye kadar olan sayıların toplamı,
1 + 2 + 3 + 4 +.........n = n.(n + 1) / 2

 Ardışık çift sayıların toplamı,
2 + 4 + 6 + ...... + (2n - 2) + 2n = n.(n + 1)

Ardışık tek sayıların toplamını veren formül ise,
1 + 3 + 5 + .....(2n - 3) + (2n - 1) = n2
 şeklindedir.

Ardışık Sayılar

Ardışık Sayı Nedir?

Birbirinin  ardı sıra sabit bir farkla artan ya da azalan sayılara "Ardışık Sayılar " denir.

1, 2, 3, 4,......n  1'den n'ye kadar olan ardışık sayılar(Sayma sayıları). Artış miktarı N = 1 için,

Ardışık sayı tanımında artış miktarı ve başlangıç sayısı için herhangi bir sınırlama yapılmamıştır. Tek şart artış miktarının sabit olmasıdır. 

3, 8, 11, 16, .....  3'ten başlayan ve beşer beşer artan ardışık sayılar.

Genel olarak ÖSS, ALES ve  KPSS gibi sınavlarda artış miktarı 1 olan Sayma sayıları ile tek ve çift ardışık sayı dizileri sorulmaktadır. 

n Ardışık Sayı Dizisindeki eleman sayısı olmak üzere,

Asal Sayılar

Asal Sayı Nedir?

Çarpanlarına ayrıldığı zaman kendisinden ve 1'den başka çarpanı olmayan ya da kendisinden veya 1'den başka böleni olmayan sayılara asal sayılar denmektedir. Asal sayılar 2'den başlar ve sonsuza kadar devam eder. 2 asal olan tek çift sayıdır. 1 sayısı asal sayı olarak kabul edilmez.

Asal sayılar kümesi : {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ........}

Aralarında Asal Sayılar

1'den başka pozitif ortak böleni olmayan sayılara aralarında asal sayılar denir. Üç farklı durumu vardır,

1. Doğal olarak iki asal sayı kendi aralarında asaldır.

17 ile 23, 41 ile 11 gibi...

2. Asal bir sayı ile asal olmayan bir sayı kendi aralarında asal olabilir.

4 ile 7, 12 ile 47 gibi...

3. Her ikisi de asal olmayan iki sayı kendi aralarında asal olabilir.

9 ile 16, 15 ile 82 gibi...

Sınavlarda aralarında asal olma durumu ile ilgili sorular genellikle rasyonel ifadeli denklemler olarak karşınıza çıkar.  Rasyonel ifadenin  bir tarafını sadeleştirip aralarında asal hale getirerek denklemin diğer kısmındaki bilinmeyenerle ilgili grekli işlemler yepılır ve sonuca ulaşılır.

Bölme ve Bölünebilme Örnek Problem

Soru:

Yanda görülen bölme işlemlerinde a,b ve c birer pozitif tamsayıdır. Buna göre a sayısının 6 ile bölümünden kalan kaçtır?

 Çözüm:

İlk olarak her iki bölme işlemini de denklemler haline getirmeliyiz:

a = 2b+5 (1. denklem)

b = 3c+1 (2. denklem)

1. denklemdeki b yerine 2. denklemdeki eşiti yazılır.

a = 2(3c + 1)+5
a = 6c + 2 + 5
a = 6c + 7(3. denklem)

3. denklem bize a'nın 6 ile bölümünü vermektedir. Bu denekleme göre a sayısı 6 ile bölündüğünde bölüm c kalan 7'dir. Buna göre sorumuzun cevabı 7'dir.