Sayılar 2007 ALES Sonbahar Sayısal-1 Soru ve Çözümü

SORU:

a ve b pozitif birer tam sayı olmak üzere,
3a + 5b = 300
eşitliğini sağlayan en büyük b değeri kaçtır?(2007 ALES Sonbahar Sayısal-1)
A) 57   B) 55   C) 53   D) 51   E) 49

ÇÖZÜM:

3a + 5b = 300 denklemde a'ya değerler vererek b'nin alabileceği değerler belirlenir. b pozitif bir tam sayı olarak tanımlandığı için b'yi tam sayı çıkaran a değerleri bulunmalıdır.
a = 5 için,
3 . 5 + 5b = 300
15 + 5b = 300
5b = 285
b = 57 olarak bulunur.
Doğru Cevap A Seçeneğidir.



Turgut Arslan

Sayılar Örnek Soru 3

SORU:

a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakam olmak üzere,
8a - 5b + 2c
ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri nedir?

ÇÖZÜM:

a,b ve c birer rakam olduklarına göre alabilecekleri değerler kümesi şu şekildedir,
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) bu kümeden soruda verilen denklemi en küçük yapmak üzere,
a = 0
b = 9
c = 1
Değerleri seçilirse sonuç,
8 . 0 + 5 . 9 + 2 . 1 = - 43 bulunur.



Turgut Arslan

Sayılar 2007 ALES Sonbahar Say-1 Soru ve Çözümü

SORU:

a ve b pozitif tam sayılarından büyük olanının 48 katı diğerinin 72 katına eşittir.
Buna göre a + b toplamının en küçük değeri kaçtır?(2007 ALES Sonbahar Sayısal-1)
A)    B) 7   C) 8   D) 9   E) 11

ÇÖZÜM:  

 48a = 72b
2a = 3b
a/b = 3/2  k orantı sabiti olmak üzere,
a = 3k
b = 2k olur.
a + b = 3k + 2k = 5k  (toplamın en küçük olması için k = 1 alınır)
k = 1 için toplam 5 olur.

Doğru Cevap A Seçeneğidir



Turgut Arslan

Sayılar 2008 ALES Sonbahar Say-1 Soru ve Çözümü

SORU:

x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere,

3x + 5y = 44

eşitliğini sağlayan kaç tane (x,y) ikilisi vardır?(2008 ALES Sonbahar Sayısal-1)

A) 1   B) 2   C) 3   D) 4   E) 5

ÇÖZÜM:

İlk önce 3x + 5y = 44 koşulunu sağlayan en küçük x değeri bulunur.Bunun için x'e 1'den başlayarak pozitif tam sayı değerleri verilir.

x = 1 için,

3 + 5y = 44

5y = 41 olur 41 5'e kalansız bölünemediğinden y tam sayı olarak çıkmaz. Soruda x ve y pozitif tam sayı olarak tanımlanmışlardı bu sebeptn dolayı x = 1 olamaz.

x = 2 için,

3 . 2 + 5y = 44

6 + 5y = 44

5y = 38 olur. 38 5'e kalansız bölünemediğinden y tam sayı olarak çıkmaz. Soruda x ve y pozitif tam sayı olarak tanımlanmışlardı bu sebepten dolayı x = 2 de olamaz.

x = 3 için,

3 . 3 + 5y = 44

9 + 5y = 44

5y = 35

y = 7 bulunur. Soruda verilen şart sağlanmaktadır.

x'in en küçük değeri 3 buna karşılık gelen y değeri ise 7'dir,

Daha sonra (x,y) ikililerini bulmak için x'in değerini denklemdeki y'nin katsayısı kadar artırılır (+5), y'nin değerini ise yine denklemdeki x'in katsayısı kadar azaltılır (-3) ve  diğer sayı ikilileri bulunur.

 x       y 
 3      7
 8      4
13     1

Buna göre istenen (x,y) ikilileri : (3,7) (8,4) (13,1)
Olmak üzere 3 adettir.

Doğru Cevap C Seçeneğidir.



Turgut Arslan

Ardışık Sayılar 2008 ALES Sonbahar Say-1 Soru ve Çözümü

SORU:

Ardışık iki tam sayının çarpımı, bu sayılardan her birine 1 eklenirse elde edilen çarpımdan 24 eksiktir.
Buna iki tam sayıdan küçük olanı kaçtır?(2008 ALES Sonbahar Sayısal-1)
A) 9   B) 11   C) 13   D) 15   E) 17

ÇÖZÜM:

Soruda verilen ardışık sayılar n ve n + 1 olsun. Buna göre denklemimiz,
n.(n + 1) = (n + 1).(n + 2) - 24 şeklinde olur.
n2 + n = n2 + 2n + n + 2 - 24
0 = 2n -22
2n = 22
n = 11 Bulunur.
Doğru Cevap B Seçeneğidir



Turgut Arslan

İkinci Derece Denklemler Örnek Soru 1

SORU:

a ve b doğal sayılar olmak üzere,

a2 - b2 = 17

olduğuna göre a.b çarpımının değeri nedir?

ÇÖZÜM:

a2 - b2 = (a - b).(a + b) tam kare denklemi
a2 - b2 = 17 (a - b).(a + b) = 17 (17 asal sayıdır ve çarpanları 1 ve 17 dir.) buna göre,
a - b = 1
a + b = 17
2a = 18
a = 9
a'nın değeri denklemde yerine koyulur ve b bulunur
9 - b = 1
-b = 1 - 9
-b = -8
b = 8 olur.
Buna göre a.b çarpımı,
9.8 = 72 olarak bulunur.



Turgut Arslan

Sayılar Örnek Soru 2

SORU:

(7m - 3) ile (5m + 7) sayıları ardışık tek tam sayılardır. Buna göre m'nin alabileceği değerler toplamı nedir?

ÇÖZÜM:

iki ardışık tek tam sayı arasındaki fark 2'dir.Bu bilgiye istinaden bu iki tek tam sayıyı birbirinden çıkaralım. Ancak (7m - 3) ile (5m + 7)'den hangisinin büyük olduğu tam olarak bilinmediğinden dolayı her iki durum için de hesaplama yapmak gerekir.

Durum 1

(7m - 3) - (5m + 7) = 2

7m - 3 - 5m - 7 = 2

2m - 10 = 2

2m = 12 

m = 6

Durum 2

(5m + 7) - (7m - 3) = 2

5m + 7 - 7m + 3 = 2

-2m + 10 = 2

-2m = -8

m = 4

Her iki durum da toplanarak m için olabilir değerler toplamı bulunur.

6 + 4 = 10

Turgut Arslan

Sayılar 2008 ALES Sonbahar Say-1 Soru ve Çözümü

SORU:

x ve y birer doğal sayı olmak üzere,
y(x + 2) = 6
eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı nedir?(2008 ALES Sonbahar Sayısal 1)
A) 3   B) 4   C) 5   D) 6   E) 7

ÇÖZÜM:

 y(x + 2) = 6 eşitliğinde  y'ye soruda verilen şarta uygun değerler verilir ve bu değerlere karşı gelen x sayıları bulunur.

y = 1 için x = 4

y = 2 için x = 1

y = 3 için x =0

y = 6 için x = -1  bu değeri alamaz çünkü x sorunun başında bir doğal sayı olarak tanımlanmıştı. 

Soruda verilen şartlara uygun x değerleri toplanırsa,

4 + 1 + 0 = 5 bulunur.

Doğru Cevap C Seçeneğidir.

Turgut Arslan

Sayılar 2007 ALES Sonbahar Say-1 Soru ve Çözümü

SORU:

a ve b pozitif tam sayıları için,

a

3

+ b = 8

olduğuna göre a'nın alabileceği en büyük değer kaçtır?(2007 ALES Sonbahar Sayısal-1) 

A) 27   B ) 24   C) 21   D) 18   E) 15

ÇÖZÜM:

 a'nın en büyük değerini alabilmesi için b en küçük olmalıdır. a ve b pozitif tam sayılar olduğu için b = 0 olamaz b > 0 dır. Buna göre b = 1 değerini alabilir. Bu durumda,

a

3

+ 1 = 8

a/3 = 7 olur. Buradan,

a = 3 . 7 = 21 bulunur.

Doğru Cevap C Seçeneğidir.



Turgut ARSLAN

Faktöriyel 2008 ALES İlkbahar Say 2 Soru ve Çözümü

SORU:

10!

2m

= a
olduğuna göre m'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?(2008 ALES İlkbahar Sayısal 2)
A) 5   B) 6   C) 7   D) 8   E) 9

ÇÖZÜM:

10!

2m

= a
ifadesinde içler dışlar çarpımı yaparsak,
10! = 2m.a eşitliğini elde ederiz. Bu eşitlikte m'nin alabileceği en buyük değeri bulabilmek için 10! içinde kaç adet 2 bulunduğuna bakılır,

Elde edilen bölüm değerleri toplanırsa 10! içindeki 2 çarpanlarının sayısı bulunur,
5 + 2 + 1 = 8

Doğru Cevap D Seçeneğidir.





Turgut Arslan

Faktöriyel Örnek Soru 2

SORU:

(a + 1)!

(b - 1)!

= 24 eşitliğini sağlayan a + b ifadesinin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

ÇÖZÜM:

(a + 1)!

(b - 1)!

= 24

1. Durum

(a + 1)! = 24.(b - 1)!     (b - 1)! = 23! olarak düşünülebilir. Bu durumda ifademiz,
(a + 1)! = 24.23! = 24! olur
a + 1 = 24 => a = 23
b - 1 = 23 => b = 24
a + b = 23 + 24 = 47 olur.

2. Durum

(a + 1)! = 24.(b - 1)! = 4.3.(b - 1)!     (b - 1)! = 2! olarak düşünülebilir. Bu durumda ifademiz,
(a + 1)! = 4.3.2! = 4! olur.
a + 1 = 4 => a = 3
b - 1 = 2 => b = 3
a + b = 3 + 3 = 6 olur.

3. Durum

(a + 1)!

(b - 1)!

= 4!/0!
a + 1 = 4 => a = 3
b - 1 = 0 => b = 1
a + b = 3 + 1 = 4 olur.
Olası 3 durumun toplamı a + b ifadesinin alabileceği değerler toplamını verir.
1. Durum + 2. Durum + 3. Durum
47 + 6 + 4 = 57 bulunur.



Turgut ARSLAN

Sayılar Basamak Kavramı 2007 ALES Sonbahar Say-1 Soru ve Çözümü

SORU:

Üç basamaklı 8AB sayısı iki basamaklı AB sayısının 33 katı olduğuna göre A + B kaçtır?(2007 ALES Sonbahar Sayısal-1)
A) 3    B) 5   C) 6   D) 7   E) 9

ÇÖZÜM:

8AB = 33(AB)
800 + AB = 33(AB)
800 = 32(AB)
AB = 800/32 = 25
A = 2
B = 5
A + B = 2 + 5 = 7

Doğru Cevap D Seçeneğidir.


Turgut Arslan

Sayılar Basamak Kavramı 2007 ALES Sonbahar Say-2 Soru ve Çözümü

SORU:

Dört basamaklı bir doğal sayının sağına 2 yazıldığında elde edilen 5 basamaklı doğal sayı A, soluna 1 yazıldığında elde edilen beş basamaklı doğal sayı B oluyor.

A - B = 15724 olduğuna göre dört basamaklı doğal sayının rakamları toplamı kaçtır?(2007 ALES Sonbahar Sayısal-2)

A) 16   B) 18   C) 21   D) 23   E) 26

ÇÖZÜM:

Sayımız abcd olsun. Soruda verilen işlemleri abcd üzerine uygularsak,

 abcd2

-1abcd

 15724

Şimdi bu çıkarma işlemine bakarak a, b, c, d sayılarını bulmaya çalışalım. İlk olarak en sağdan başlayalım.
2 - d = 4  2'den 4 çıkmaz d'den bir onluk alınır. 12 - 4 = 8 bulunur.
d = 8

Şimdi işlemi yeniden yazalım,

  abc82

-1abc8

 15724

8 - c =2  burada 8 bir önceki işlemde 1 onluğunu birler basamağındaki 2'ye verdiği için artık 7'dir
7 - c = 2 => c = 5

  ab582

- 1ab58

  15724

5 - b = 7 bu işlemin olabilmesi için b'nin 5 ve 7 den büyük bir sayı olması gerekir. bu sebepten dolayı 5 ten b çıkmaz. 5 solundaki sayıdan bir onluk alır ve 15 olur
15 - b = 7 => b = 8 olur.

   a8582

- 1a858

  15724

8 - a = 5  burada 8 bir önceki işlemde 1 onluğunu birler basamağındaki 5'e verdiği için artık 7'dir
7 - a = 5 => a = 2 bulunur.


   28582

- 12858

  15724

a = 2 b = 8 c = 5 d = 8
a + b + c + d = 2 + 8 + 5 + 8 = 23 bulunur.

Doğru Cevap D Seçeneğidir.



Turgut Arslan

Hareket Problemleri 2009 KPSS Soru ve Çözümü

SORU:

Bir deniz motoru |AB| yolunu saatte (v + 20)km hızla 24 dakikada, aynı yolu saatte (v - 6)km hızla 32 dakikada alıyor.
Buna göre |AB| yolu kaç km'dir?(2009 KPSS)
A) 40,2   B) 40,8   C) 41,2   D) 41,6   E) 41,8

ÇÖZÜM:

|AB| yolu x km olsun, soruda hızlar saat cinsinden verildiği için dakikaları saate çevirelim
60 dakika 1 saat ise
24 dakika y saat eder (Doğru orantı)

60y = 24
y = 24/60 = 2/5 saat

60 dakika 1 saat ise
32 dakika y saat eder (Doğru orantı)

60y = 32
y = 32/60 = 8/15 saat

Yol = Hız . Zaman Formülünden yola çıkarak x km için iki farklı ifade yazılabilir.

x = (v + 20). 2/5
x = (v - 8) . 8/15

(v + 20). 2/5 = (v - 8) . 8/15
(v + 20) = (v - 8). 4/3 buradan,
6v + 120 = 8v - 48
2v = 168
v = 84 km/h olur.
Bu değeri x için yazılan denklemlerden birinde yerine koyarsak |AB| yolunu hesaplayabiliriz
x = (84 + 20). 2/5
x = 41,6 km bulunur.

Doğru Cevap D Seçeneğidir.



Turgut Arslan

Oran Orantı 2009 KPSS Soru ve Çözümü

SORU:

Sıfırdan büyük a, b, c sayıları sırasıyla 2, 4, 6 sayıları ile orantılı ve,
b2 = a + c
olduğuna göre a + b + c toplamı kaçtır?(2009 KPSS)
A) 5   B) 6   C) 7   D) 8   E) 10

ÇÖZÜM:

a, b, c  sayıları 2, 4, 6 ile orantılı ise k orantı sabiti olmak üzere bu sayılar için,
a = 2k  b = 4k  c = 6k  yazılabilir. bu sayılar,

b2 = a + c ifadesinde yerine yazılırsa,
(4k)2 = 2k + 6k olur
16k2= 8k
k = 1/2 bulunur. Artık orantı sabitini bulduğumuza göre a, b ve c sayılarını hesaplayabiliriz.

a = 2 . 1/2 = 1   b = 4 . 1/2 = 2    c = 6 . 1/2 = 3 buna göre

a + b + c = 1 + 2 + 3 = 6 bulunur.

Doğru Cevap B Seçeneğidir.



Turgut Arslan

İşlem ve Modüler Aritmetik 2009 KPSS Soru ve Çözümü

SORU:

A = {a, b, c, d, e} kümesi aşağıda verilen * işlemi ile bir değişmeli grup oluşturmaktadır.

Her x * A için bir fx fonksiyonu
fx(y) = x-1 * y ∈ A biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre, fe(fb(e)) aşağıdakilerden hangisine eşittir?(2009 KPSS)
A) a   B) b   C) c   D) d   E) e

ÇÖZÜM:

 Öncelikli olarak soruda tanımlanan * işleminin birim elemanını bulmalıyız. Birim eleman kendisi ile işleme girildiğinde sonucu değiştirmeyen elemandır.

Yukarıdaki tabloda işaretli olan c elemanı kendisi ile yapılan * işleminin sonucunu değiştirmemektedir. Bu sebepten dolayı * işleminin etkisiz elemanıdır.
b-1 = d (d, b ile * işlemine girip birim eleman olan c'yi verdiği için b'nin tersi olur.)
e-1 = a (a, e ile * işlemine girip birim eleman olan c'yi verdiği için e'nin tersi olur.)
fe(fb(e)) = fe(b-1 * e) = fe(d * e)
fe(a) = e-1 * a = a * a = d olur

Doğru Cevap D Seçeneğidir.



Turgut Arslan  

Köklü Sayılar 2009 KPSS Soru ve Çözümü

SORU:

a bir gerçel sayı olmak üzere,
(2 -   2a + a2). (a +   2 ) = 2  2 - 8
olduğuna göre a kaçtır?(2009 KPSS)
A) -2   B) -1   C) 0   D) 1   E) 2

 ÇÖZÜM:

(2 -   2a + a2). (a +   2 ) = 2  2 - 8
2a -   2a2 + a3 + 2  2 - 2a +   2a2 = 2  2 - 8
2  2 + a3 = 2  2 - 8
a3 = - 8
a3 = (- 2)3
a = -2 bulunur.

Doğru Cevap A Seçeneğidir.



Turgut Arslan

İşçi ve Havuz Problemleri 2009 KPSS Soru ve Çözümü

SORU:

x sayıda işçinin 10 günde 10 saat çalışmasıyla 15 günde bitirilebilen bir iş, işçi sayısı artırılarak ve günde 8 saat çalışılarak 12 günde bitirilebiliyor.

Buna göre x aşağıdakilerden hangisi olabilir? (2009 KPSS)

A) 10   B) 12   C) 18   D) 24   E) 32

ÇÖZÜM:

İşçi ve havuz problemlerinin çözümünde, hesaplamalar bahis geçen olayın(bir işin yapılması ya da havuzun dolması-boşalması gibi ) gerçekleşmesi için haracanan toplam zaman üzerinden yapılır. Bu soruda ilk önce; işçi sayısı, işin yapılması için geçen gün sayısı ve günlük çalışma süresi çarpılırsa, harcanan toplam mesai bulunur

x işçi 10 saat  15 gün (x işçi toplamda 10 . 15 . x = 150x saat mesai harcar)

y işçi 8 saat    12 gün (y işçi toplamda 8 . 12 y = 96y saat mesai harcar)

                                   

Her iki durumda da aynı iş yapıldığından dolayı, bu iki durumun birbirlerine oranı 1 olur. Yani

150x / 96y = 1

150x = 96y

      x = (96/150)y

      x = (16/25)y olur. (1)

Soruda işçi sayısının artırıldığından bahsediliyor. Bu durmda  x < y'dir. x'in durumunun daha iyi değerlendirilebilmesi için (1) ifadesini biraz değiştirelim,

x / y = 16 / 25 (2)

(2) ifadesinde de görüldüğü gibi x, 16 sayısı ile orantılıdır. Yani x 16'nın bir katı ve 25'ten de küçüktür(y'den dolayı). Bu durmda

x = 32 olabilir.

Doğru Cevap E Seçeneğidir.



Turgut Arslan

Kümeler 2009 KPSS Soru ve Çözümü

SORU:

32 kişinin katıldığı bir sınavda her bir öğrenci matematik ya da fen testlerinden en az birini yapmıştır. Yalnız matematik testini yapan öğrenci sayısı fen testini yapan öğrenci sayısının 2 katında 4 eksiktir.

Buna göre yalnız matematik testini yapan öğrenci sayısı kaçtır?(2009 KPSS)

A) 12   B) 14   C) 16   D) 18   E) 20

ÇÖZÜM:

Öncelikli olarak Matamatik ve Fen kümelerini oluşturmalıyız. Matematik ve Fen testlerini çözen öğrencilerin oluşturdukları kümeleri soruda verilen ipuçlarına uygun bir şekilde çizelim,

Grafikte yalnız Fen testini çözen öğrencilerin sayısına x dersek, soruda verilen şarta bağlı olarak Matematik testini çözen öğrenci sayısı; 2x - 4 olur. Sınıf mevcudu 32 olarak verilmişti. Buna göre denklemimiz,

2x - 4 + x = 32

3x = 32 + 4

3x = 36

x = 12 Burada bulduğumuz Fen testini çözen öğrenci sayısıdır. Matematik testini çözen öğrenci sayısı iki yoldan bulunabilir.

1. Yol:

 Sınıf mevcudundan Fen testini çözen öğrenciler çıkarılır.

32 - 12 = 20

2. Yol

Bulunan x değeri denklemde yerine yazılır.

2(12) - 4 = 24 - 4 = 20 Bulunur.

Doğru Cevap E Seçeneğidir.

Turgut Arslan

Rasyonel Sayılar 2009 KPSS Soru ve Çözümü

SORU:

a2 - b2 = 16

  1   

a + b

+

  1  

a - b

=

 17 

16

olduğuna göre a kaçtır?(2009 KPSS)
A) 13/2   B) 15/2   C) 17/2   D) 19/4   E) 21/4

ÇÖZÜM:

  1   

a + b

+

  1  

a - b

=

 17 

16

denklemin sol tarafında paydalar eşitlenir
(a - b)         (a + b)

 a - b 

a2 - b2

+

 a + b 

a2 - b2

=

 17 

16

a - b + a + b

    a2 - b2

=

 17 

16

  2a  

a2 - b2

=

 17 

16

a2 - b2'in değeri yerine yazılırsa

  2a  

  16

=

 17 

 16

2a = 17

a = 17/2 bulunur.

Doğru Cevap C Seçeneğidir.



Turgut Arslan