Üslü Sayılar 2009 KPSS Soru ve Çözümü

SORU:

3 . 9x + 1

27x + 1

=

 1 

9

olduğuna göre x kaçtır?(2009 KPSS)
A) 3   B) 2   C) 1   D) -1   E) -2

ÇÖZÜM:

3 . (32)x + 1
(33)x + 1

=

 1 

32

3 . 32x + 2

33x + 3

=

 1 

32

32x + 3

33x + 3

=

 1 

32

32x + 3 - 3x -3 = 3-2

3-x = 3-2 eşitliğin iki tarafındada tabanlar aynı olduğundan üsler birbirlerine eşittirler.

-x = -2

x = 2 bulunur. Doğru Cevap B Seçeneğidir.



Turgut Arslan

Köklü Sayılar 2009 KPSS Soru ve Çözümü

SORU:

   5 -    21 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? (2009 KPSS)

A)

   7 -    3

   2

B)

   5 -    3

   2

C)

   7 -    5

   3

D)

   5 +    3

   3

E)

   5 +    7

   3

ÇÖZÜM:

   5 -    21 ifadesinde pay ve paydayı    2 ile çarparak genişletelim.

   2 . (   5 -    21)

   2

=

   10 - 2   21

   2

   (7 + 3) - 2   (7 . 3)

   2

=

   7 -    3

   2

olarak bulunur.

Doğru Cevap A Seçeneğidir.



Turgut Arslan

Sayılar Örnek Soru 1

SORU:

a ve b birbirinden farklı pozitif tam sayılardır. 

a.b = 24

olduğuna göre a + b toplamının alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaçtır?

ÇÖZÜM:

a + b toplamının en küçük olabilmesi için a ve b nin birbirine yakın değerler olması gerekir. a.b = 24 'ün çarpanları arasında birbirlerine en yakın olanları 6 ve 4'tür. Buna göre a = 6 ve b = 4 için

a + b = 6 + 4 = 10 en küçük değer olur.

a + b toplamının en büyük olabilmesi için a ve b birbirlerine uzak değerler olmalıdır. 24'ün birbirlerine en uzak olan çarpanları 1 ve 24 tür. Buna göre a = 1 ve b = 24 için

a + b = 1 + 24 = 25 en büyük değer olur.

Soruda bizden a + b toplamının en büyük ve en küçük değerleri arasındaki fark isteniyordu. Bu fark,

25 - 10 = 15 olarak bulunur.

Soruda a ve b sayıları birbirinden farklı ve pozitif tam sayılar olarak tanımlandığı için çözüme ulaşırken negatif değerleri almadık. Özellikle ALES, YGS, SBS ve KPSS gibi sınavlarda bu tip soruları cevaplandırırken verilen sayılarla ilgili tanımlamalara dikkat edin. a, b, x ve y gibi harflerle isimlendirilen bu sayılar; birbirlerinden farklı olmak, negatif ya da pozitif olmak, tam sayı olmak, gerçel sayı olmak gibi özelliklerle nitelendirilirler.Çözerken dikkat edin!!!

Turgut Arslan

Faktöriyel Örnek Soru 1

SORU:

(n+1)! / (n-1)! =6 ise n nedir?

ÇÖZÜM:

(n+1)! / (n-1)! =6 denkleminde paydaki (n + 1)! ifadesini (n - 1)!'e kadar açalım.
(n+1).(n).(n-1)! /(n-1)!  = 6
n.(n+1) = 6
n2 + n - 6 = 0 şeklinde bir ikinci dereceden denklem elde ederiz. Şimdi bu denklemi çözelim.
n           -2   denklem çarpanlarına ayrılır.
n            3

(n-2).(n+3) = 0 ise (n-2) = 0 ve (n + 3) = 0 olur buna göre
n = 2 ve n = -3 bulunur.

Denklemin çözüm kümesi Ç = {-3, 2} olur.



Turgut Arslan

Kar Zarar Problemi 2007 ALES İlkbahar Say-1 Soru ve Çözümü

SORU:

Bir ürünün maliyetinin %20'si işçi ücretlerinden oluşmaktadır.
İşçi ücretlerine %125 zam yapılırsa yeni maliyetin yüzde kaçı işçi ücretlerinden oluşur?(2007 ALES İlkbahar Sayısal 1)
A) 36   B) 32 C) 30   D) 28   E) 25

ÇÖZÜM:

Ürün maliyetini 100 TL olarak kabul edersek bunun %20 si yani,
100 . (20/100) = 20 TL işçi ücreti olur.
100 - 20 = 80 TL diğer masraflar

 İşçi ücretine %125 zam yapılırsa,

20 + 20.(125/100) = 45 TL zamlı işçi ücreti olur.

Yeni maliyetimiz ise

 Diğer Masraflar +  Zamlı işçi ücreti

80 + 45 = 125 TL Yeni maliyetimiz olur.

125 TL nin      45 TL si işçi maliyeti ise,
100 TL nin        x TL si işçi maliyet olur (Doğru Orantı)
                                   
125.x = 100.45
x = 36 bulunur.

Doğru Cevap A Seçeneğidir.



Turgut Arslan

Olasılık Örnek Soru 2

SORU:

Bir tabakta 6 armut ve 5 tane elma vardır. Tabaktan rastgele bir meyve alınacaktır. Alınan meyvanın elma olma olasılığı kaçtır?

ÇÖZÜM:

Tabakta toplamda 6 + 5 = 11 adet meyve vardır. Yanzi bizim örnek uzayımızı oluşturan tüm durumlar 11 elemanlı bir küme oluşturur. Soruda istenen elma olma durumu 5 elemanlı bir kümedir(5 adet elma olduğundan dolayı). Bu durmda tabaktan rastgele alınan meyvanın elma olma olasılığı P(E), 11 de 5'tir.

P(E) = 5/11 olur.

Turgut Arslan

Olasılık Örnek Soru 1

SORU:

Bir madeni para ard arda iki kez havaya atıldığında iki defa üst üste tura gelmesi olasılığı nedir?

ÇÖZÜM:

Madeni paranın iki yüzü olduğundan her seferinde gerçekleşebilir iki ihtimal vardır. Yazı veya tura gelebilir. 

Bir kez havaya atıldığında tura gelme ihtimali bu iki ihtimalden sadece biridir. Yani 1/2

İki kez ard arda havaya attığımızda tura gelme ihtimali ise,

(1/2).(1/2)= 1/4 tür.

Turgut Arslan

Sayı Kesir Problemleri 2007 ALES İlkbahar Say-1 Soru ve Çözümü

SORU:

Bir bidondaki 28 lt zeytinyağı 0,25 lt2lik şişelere doldurulursa tam olarak dolmayan şişede kaç lt zeytinyağı kalır? (2007 ALES Sayısal 1)

A) 0,25   B) 0,3   C) 0,4   D) 0,5   E) 0,6 

ÇÖZÜM:

Soruda 28 lt zeytinyağı 0,75'er litrelik şişelere paylaştırılmak isteniyor. son kalan ve tam olarak doldurulamayan şişedeki zeytinyağı miktarı soruluyor. Bunu bulmak için tüm zeytinyağı hacmini şişe hacmine böleriz ve kaç şişe dolduğunu buluruz. Bölme işlemi sonucunda kalan sayı bize son kalan ve tam olarak dolmayan şişedeki zeytinyağı miktarını verir.

 28/(0,75) = 2800/75(pay ve payda 100 ile çarpıldı) işlemi yapılır. 

Bölme işlemi sonucunda bölüm 37 kalan ise 25 olarak bulunur. bu sayı 100'e bölünürse son kalan ve tam dolu olmayan şişedeki zeytinyağı miktarı, 

0,27 lt olarak bulunur. 

Doğru Cevap A Seçeneğidir

 

Turgut Arslan

Karışım Problemleri Örnek Soru 1

SORU:

%10'u tuz olan 39 gr tuzlu su çözeltisinin 10 gramında kaç gram tuz vardır?

ÇÖZÜM:

Çözeltinin miktarı değişse de içindeki tuz oranı aynı kalır. Sadece tuz miktarı çözelti miktarına bağlı olarak değişir. %10'u tuz olan bir çözeltinin 10gramında da 39 gramında da tuz yüzdesi aynıdır. Aynı çözeltinin 10 gramındaki tuz miktarını hesaplamak için çözelti miktarı ile tuz yüzdesini çarpmamız yeterlidir. Buna göre tuz miktarımız,

10.(10/100) = 1 gram olacaktır.

Turgut Arslan

Karışım Problemleri 2009 KPSS Soru ve Çözümü

SORU:

Tuz oranı %20 olan tuzlu sudan 30 lt su buharlaştırılırsa yeni tuz oranı %30 oluyor.
Buna göre başlangıçtaki tuzlu su miktarı kaç litredir?(2009 KPSS)
A) 120   B) 100   C) 90   D) 80   E) 60

ÇÖZÜM:

Başlangıç için kabımızda x litre tuzlu su olsun. Bu tuzlu suyun %20'si tuz olduğuna göre başlangıç olarak kabımızda (20/100)x lt  kadar tuzumuz var demektir.

Şimdi kaptan 30 lt su buharlaştıralım. Bu durumda kabımızdaki tuzlu su miktarı x - 30 lt olur. Tuz su ile birlikte buharlaşmayacağı için kapta kalır. Yani karışımdaki tuz miktarı değişmez.

Tuz oranı = Tuz Miktarı / Karışımın Hacmi

Karışımdaki tuz yüzdesini(oranını) hesaplamak için karışımdaki tuz miktarını tüm karşımın hacmine böleriz. 30 lt su buharlaştırdığımız zaman karışımın tuz yüzdesi %30 oluyordu. Bu ipucunu kullanarak çözüme varabiliriz. Başlangıçta karışımda (20/100)x kadar tuzumuz vardı. Buharlaştırılmadan sonra tuz miktarı aynı kaldı.Buna göre denklemimiz

Yeni tuz oranı = (30 / 100) = (20/100)x /( x - 30)   (Gerekli sadeleştirmeler yapılırsa,)
2x = 3x - 90
x = 90 lt bulunur.

Doğru Cevap C Seçeneğidir.


Turgut Arslan

Mutlak Değer 2009 KPSS Soru ve Çözümü

SORU:

x ∈ R ve x<1/4 olmak üzere,
|3x - |x -1|| - 2
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?(2009 KPSS)
A) -4x - 3   B) -4x - 1   C) 4x - 3   D) 4x + 1   E) 4x + 3

ÇÖZÜM:

Öncelikli olarak |x - 1| ifadesinin mutlak değer dışına nasıl çıkması gerektiğini bulmalıyız.
soruda verilen x < 1/4 şartında eşitsizliğin her iki tarafından 1 çıkaralım.
x - 1 <1/4 - 1
x - 1 < - 3/4 olarak bulunur. Bu |x - 1| mutlak değerinin içinin negatif olduğunu gösterir. Negatif sayıların mutlak değerini bulmak için -1 ile çarparız. Buna göre ,
|x - 1| = -1.(x - 1) = 1 - x  olur.  Bulduğumuz bu değeri soruda verilen ifade içindeki yerine yazalım.
|3x - (1 - x)| - 2 = |3x -1 + x| - 2
|4x - 1| - 2  (1)
Şimdi bu ifadede mutlak değerin durumunu öğrenebilmemiz için 4x'i incelememiz gerekir.
Soruda x < 1/4 şartı verilmişti burdan hareketle
x < 1/4
4x < 1 bulunur.
4x 1'den küçük olduğu için mutlak değerin içi negatif olur.
|4x - 1| = -1.(4x - 1) = 1 - 4x bulunur ve (1) ifadesinde yerine yazlırsa,
 1 - 4x - 2 = -4x -1
sonucuna ulaşılır.

Doğru Cevap B Seçeneğidir.


Turgut Arslan

Yaş Problemi 2009 KPSS Soru ve Çözümü

Soru:

Adnan arkadaşına "5 yıl sonra yaşım doğum yılımın rakamları toplamına eşit olacak" diyor.
Bu konuşma 2000 yılında geçtiğine göre, Adnan hangi yıl doğmuştur?(2009 KPSS)
A) 1964   B) 1973   C) 1975   D)  1979   E) 1980

Çözüm:

Çözüme ulaşabilmek için ilk önce şıklarda verilen doğum yıllarının rakamlarını toplayalım.
A) 1964 = 1 + 9 + 6 + 4 = 20
B) 1973 = 1 + 9 + 7 + 3 = 20
C) 1975 = 1 + 9 + 7 + 5 = 22
D) 1979 = 1 + 9 + 7 + 9 = 26
E) 1980 = 1 + 9 + 8 + 0 = 18

Soruda 5 yıl sonraki yaşım diyor. konuşma 2000 yılında geçtiği için
2000 + 5 = 2005 yılı üzerinden yaş hesaplaması yapacağız. Şimdi şıklarda verilen doğum tarihlerini kullanarak olası yaşları hesaplayalım.
A) 2005 - 1964 = 41
B) 2005 - 1973 = 32
C) 2005 - 1975 = 30
D) 2005 - 1979 = 26
E) 2005 - 1980 = 25

Görüldüğü gibi D şıkkında hesapladığımız yaş ile yine D şıkkındaki doğum tarihinin rakamları toplamı birbirini tutmaktadır. 

Doğru Cevap D seçeneğidir.

Ardışık Sayılar 2009 KPSS Soru ve Çözümü

Soru:

k bir doğal sayı olmak üzere, 1'den k'ya kadar olan sayıların toplamı a, 9 dan k'ya kadar olan sayıların toplamı b ile gösteriliyor.

a + b = 4254 olduğuna göre, a kaçtır?
A) 2145   B) 2146   C) 2148   D) 2150   E) 2154

Çözüm:

a + b = 4254
1 + 2 + .......k = a (1)
9 + 10 + ......k = b (2)
(2), (1) eşitliğinden çıkarılırsa,
1 + 2 + .......k = a (1)
-(9 + 10 + ......k) = -b (2)
a - b = 1+2 + .......+ 8
1'den n'ye kadar olan ardışık sayıların toplamı formülü uygulanır.
n.(n + 1)/2 = 8.(8 + 1)/2 = 36
a -  b = 36
a + b = 4254

2a = 4290
a = 2145
Doğru Cevap A Seçeneğidir.

Havuz Problemi 2009 KPSS Soru ve Çözümü

Soru:

Aşağıdaki şekilde verilen havuzun üst kısmında havuzu dolduran 1 ve 2 numaralı musluklar, tam ortasında ise havuzun yarısını boşaltabilen 3 numaralı musluk bulunmaktadır.

 

 1  numaralı musluk boş havuzu tek başına 8 saatte, 2 numaralı musluk ise boş havuzu tek başına 4 saatte doldurmaktadır.

Bu muslukların üçü aynı anda açıldığında havuz 44/15 saatte dolduğuna göre 3 numaralı musluk havuzun yarısını kaç saatte boşaltır?(2009 KPSS)

A) 4   B) 6   C) 8   D) 9   E) 12

Çözüm:

3 numaralı musluk havuzun sadece yarısını boşaltabilmektedir. Bu musluk, havuza doldurulan suyun yüksekliği yarıyı geçtikten sona faaliyete geçmektedir. Burada soruyu çözerken havuzu iki yarım olarak ele almakta fayda var.  Buna göre ilk önce 1 ve 2 numaralı muslukların havuzun ilk yarısını kaç saatte doldurduğunu hesaplayalım.

1 nolu musluk havuzun yarısını 8/2 = 4 saatte doldurur. (1 saatte 1/4'ünü doldurur.)

2 nolu musluk havuzun yarısını 4/2 = 2 saatte doldurur. (1 saatte 1/2'sini doldurur.)

İkisinin birlikte havuzun yarısını y saatte doldurur. Şimdi y'yi hesaplayalım.

1/4 + 1/2 = 1/y

1/4 + 2/4 = 1/y (Eşitliğin sol tarafında tabanlar eşitlendi)

3/4 = 1/y

y = 4/3 saatte doldurur (havuzun yarısını)

Burada hesaplanan 1 ve 2 numaralı muslukların havuzun ilk yarısını doldurma süresiydi. Havuzun tamamı 44/15 saatte doluyordu. Şimdi havuzun ikinci yarısının kaç saatte dolacağını hesaplayalım.

44/15 - 4/3 = 44/15 - 20/15 = 24/15 

24/15 Havuzun ikinci yarısının doldurulma süresidir. Bu süre zarfında üç musluk da faaliyettedir. 1 ve 2 numaralı musluklar havuzu doldururken, 3 numaralı musluk boşaltmaktadır. Bu durumun matematiksel ifadesi yani denklemi şu şekilde yazılır.(3 numaralı musluk havuzu x saatte boşaltsın)

   1/4      + 1/2      -   1/x    =  1/24/15

(1. Musluk)    (2. musluk)      (3. musluk) 

1/4 + 1/2 - 1/x = 15/24 (hesaplamalar yapılırsa)

1/x = 1/8

x = 8 saatte boşaltır.

Doğru Cevap C Seçeneğidir.