Maliyet Nasıl Hesaplanır

Bu çalışmada özellikle ticaretle uğraşanların aşina oldukları bir probleme değinmek istiyorum. Öğrencilerin kar zarar problemleri içinde işledikleri bir konu. Satış fiyatı ve kar oranı bilinen bir malın alış fiyatını yani maliyetini hesaplamayı ayrıntılı bir şekilde anlatmaya çalışacağım

Bir Malın Satış Fiyatından Maliyetinin Hesaplanması

Satılan bir malın kar oranı ve satış fiyatı biliniyorsa bu bilgiler kullanılarak maliyeti hesaplanabilir.

Elimizde 236 TL ye sattığınız bir mal olduğunu düşünün.  Bu malın kar oranı %18 olsun.  Bu bilgilerden yola çıkarak malın alış fiyatını hesaplamak istersek şöyle düşünmeliyiz,
Birim fiyat üzerinden hesaplama yapmak istersek:

100 TL ilk bir malı %18 karla satmak istersek önce,  alış fiyatını 0.18 ile çarpıp kar miktarını buluruz.  Sonra da bunu alış fiyatına ekleyerek satış fiyatını buluruz.

Burada 100 + ( 100 x 0.18) = 118 TL

Şimdi bulduğumuz satış fiyatını alış fiyatına bölerek karlı satış oranını hesaplayalım

118 / 100 =1.18

Eğer bir malın satış fiyatını karlı satış oranına bölerseniz alış fiyatını diğer bir deyişle maliyetini bulursunuz

118 / 1.18 = 100 TL

bizim alış fiyatımızdı. Şimdi bunu başlangıçtaki fiyat için uygulayalım

236 / 1.18 =  200 TL  bizim maliyetimiz olur.
Bunu sağlamak için %18 ini alıp üstüne ekleyerek sonucu görebilirsiniz. Buna göre genel olarak maliyeti hesaplama formülü

Maliyet  = Satış Fiyatı / Karlı Satış Oranı 

şeklinde ifade edilebilir.  Burada,

Karlı satış oranı = (100 + Kar yüzdesi) / 100

Şeklinde hesaplanır

Sayılar Basamak Kavramı 2007 KPSS Soru ve Çözümü

SORU:

Üç basamaklı ABC sayısı için A + B + C = 19 dur.
Buna göre ABC + BCA + CAB toplamının değeri kaçtır?(2007 KPSS Lisans)

A) 2199   B) 2009   C) 2109   D) 2119   E) 2209

ÇÖZÜM:

ABC + BCA + CAB toplamını yapabilmek için ilk önce bu sayıları çözümleyelim,
    100A + 10B + C
    100B + 10C + A
+ 100C + 10A + B

111A + 111B + 111C
111(A + B + C)
111 x 19 = 2109

Doğru Cevap C seçeneğidir.

Turgut Arslan

Ardışık Sayılar 2008 KPSS Soru ve Çözümü

SORU:

5'e bölündüğünde 2 kalanını veren 200 den küçük üç basamaklı tüm doğal sayıların toplamı kaçtır?(2008 KPSS)

A) 3120   B) 3140   C) 2090   D) 3290   E) 3310

ÇÖZÜM:

5' e bölündüğünde 2 kalanını veren üç basamaklı doğal sayıların oluşturduğu srdışık seri şu şekilde olmalıdır,
102 + 107 + 112 +......+197
Soruda bizden istenen toplam, bu serinin toplamıdır.
Ardışık sayı dizilerinin ortak özelliği dizi elemanlarının artım miktarlarının sabit olmasıdır. yukarıdaki diziyi incelersek;
107 - 102 = 5 (Artım Miktarı)
112 - 107 = 5 (Artım Miktarı)
Görüldüğü gibi bu dizideki artım miktarı sabit olup bu miktar 5 tir.
Ardışık Sayıların Toplamı = [(İlk Terim + Son Terim)/2] x Terim Sayısı
formülü ile hesaplanır.
Burada ilt terim ve son terim bilinmektedir. Bulmamız gereken Terim Sayısı dır.
Terim Sayısı = [(Son Terim - İlk Terim)/Artış Miktarı] + 1
formülü ile hesaplanır.
Şimdi ilk olarak terim sayısını hesaplayalım,
Terim Sayısı = [(197 - 102) / 5] +1 = 20  Bulduğumuz Terim Sayısı Toplama formülünde yerine konursa, Toplam = [(102 + 107)/2] x 20 = 2090 olarak bulunur. Doğru Cevap C seçeneğidir.

Turgut Arslan

Sayılar Örnek Soru 3

SORU:

a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakam olmak üzere,
8a - 5b + 2c
ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri nedir?

ÇÖZÜM:

a,b ve c birer rakam olduklarına göre alabilecekleri değerler kümesi şu şekildedir,
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) bu kümeden soruda verilen denklemi en küçük yapmak üzere,
a = 0
b = 9
c = 1
Değerleri seçilirse sonuç,
8 . 0 + 5 . 9 + 2 . 1 = - 43 bulunur.



Turgut Arslan

Sayılar Örnek Soru 2

SORU:

(7m - 3) ile (5m + 7) sayıları ardışık tek tam sayılardır. Buna göre m'nin alabileceği değerler toplamı nedir?

ÇÖZÜM:

iki ardışık tek tam sayı arasındaki fark 2'dir.Bu bilgiye istinaden bu iki tek tam sayıyı birbirinden çıkaralım. Ancak (7m - 3) ile (5m + 7)'den hangisinin büyük olduğu tam olarak bilinmediğinden dolayı her iki durum için de hesaplama yapmak gerekir.

Durum 1

(7m - 3) - (5m + 7) = 2

7m - 3 - 5m - 7 = 2

2m - 10 = 2

2m = 12 

m = 6

Durum 2

(5m + 7) - (7m - 3) = 2

5m + 7 - 7m + 3 = 2

-2m + 10 = 2

-2m = -8

m = 4

Her iki durum da toplanarak m için olabilir değerler toplamı bulunur.

6 + 4 = 10

Turgut Arslan

Faktöriyel Örnek Soru 2

SORU:

(a + 1)!

(b - 1)!

= 24 eşitliğini sağlayan a + b ifadesinin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

ÇÖZÜM:

(a + 1)!

(b - 1)!

= 24

1. Durum

(a + 1)! = 24.(b - 1)!     (b - 1)! = 23! olarak düşünülebilir. Bu durumda ifademiz,
(a + 1)! = 24.23! = 24! olur
a + 1 = 24 => a = 23
b - 1 = 23 => b = 24
a + b = 23 + 24 = 47 olur.

2. Durum

(a + 1)! = 24.(b - 1)! = 4.3.(b - 1)!     (b - 1)! = 2! olarak düşünülebilir. Bu durumda ifademiz,
(a + 1)! = 4.3.2! = 4! olur.
a + 1 = 4 => a = 3
b - 1 = 2 => b = 3
a + b = 3 + 3 = 6 olur.

3. Durum

(a + 1)!

(b - 1)!

= 4!/0!
a + 1 = 4 => a = 3
b - 1 = 0 => b = 1
a + b = 3 + 1 = 4 olur.
Olası 3 durumun toplamı a + b ifadesinin alabileceği değerler toplamını verir.
1. Durum + 2. Durum + 3. Durum
47 + 6 + 4 = 57 bulunur.



Turgut ARSLAN

Sayılar Örnek Soru 1

SORU:

a ve b birbirinden farklı pozitif tam sayılardır. 

a.b = 24

olduğuna göre a + b toplamının alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaçtır?

ÇÖZÜM:

a + b toplamının en küçük olabilmesi için a ve b nin birbirine yakın değerler olması gerekir. a.b = 24 'ün çarpanları arasında birbirlerine en yakın olanları 6 ve 4'tür. Buna göre a = 6 ve b = 4 için

a + b = 6 + 4 = 10 en küçük değer olur.

a + b toplamının en büyük olabilmesi için a ve b birbirlerine uzak değerler olmalıdır. 24'ün birbirlerine en uzak olan çarpanları 1 ve 24 tür. Buna göre a = 1 ve b = 24 için

a + b = 1 + 24 = 25 en büyük değer olur.

Soruda bizden a + b toplamının en büyük ve en küçük değerleri arasındaki fark isteniyordu. Bu fark,

25 - 10 = 15 olarak bulunur.

Soruda a ve b sayıları birbirinden farklı ve pozitif tam sayılar olarak tanımlandığı için çözüme ulaşırken negatif değerleri almadık. Özellikle ALES, YGS, SBS ve KPSS gibi sınavlarda bu tip soruları cevaplandırırken verilen sayılarla ilgili tanımlamalara dikkat edin. a, b, x ve y gibi harflerle isimlendirilen bu sayılar; birbirlerinden farklı olmak, negatif ya da pozitif olmak, tam sayı olmak, gerçel sayı olmak gibi özelliklerle nitelendirilirler.Çözerken dikkat edin!!!

Turgut Arslan

Faktöriyel Örnek Soru 1

SORU:

(n+1)! / (n-1)! =6 ise n nedir?

ÇÖZÜM:

(n+1)! / (n-1)! =6 denkleminde paydaki (n + 1)! ifadesini (n - 1)!'e kadar açalım.
(n+1).(n).(n-1)! /(n-1)!  = 6
n.(n+1) = 6
n2 + n - 6 = 0 şeklinde bir ikinci dereceden denklem elde ederiz. Şimdi bu denklemi çözelim.
n           -2   denklem çarpanlarına ayrılır.
n            3

(n-2).(n+3) = 0 ise (n-2) = 0 ve (n + 3) = 0 olur buna göre
n = 2 ve n = -3 bulunur.

Denklemin çözüm kümesi Ç = {-3, 2} olur.



Turgut Arslan

Birinci Dereceden Denklemler

Denklemler

Denklemler için matematiğin bel kemiğidir diyebiliriz. Sadece matematik değil, fizik, kimya, biyoloji, mühendislik vb. pekçok alanda problemlerin çözümü için denklemlerden yararlanılır. Denklem dediğimiz şey aslında bir problemin, bir olayın ya da bir değişimin formülize edilmiş halidir. Denklemler ait oldukları problemi tasvir ederler. Denkleme bakan bir kişi onu oluşturan sembollere bakarak problemi görür ve anlar. Her problemin denklemi kendine özgüdür. Bir problem çözülürken önce okunur, probleme konu olan olay iyice anlaşılır ve olayı tasvir eden bir denklem oluşturulur. Denklem çözüldüğünde problem de çözülmüş olur. Denklemler derecelerine göre sınıflandırılırlar. 

1. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

a ve b birer reel sayı olmak üzere,

ax + b = 0 

biçiminde yazılan denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenl denklem denir. Bu denklemi çözebilmek için denklemi sağlayan x değerini bulmak gerekir. Bu x değerine denklemin çözümü denir.

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Genel Çözüm Kümesi

Ç = {x| x∈ R, x = -b/a}
Denklemin çözüm işlem basamakları,
ax + b = 0
ax = -b
x = -b/a
Bu denklemlerle ilgili üç durum söz konusudur.

1. Durum

a ≠ ise; x = -b/a ve Ç = {-b/a}

2. Durum

a = 0 ve b = 0 ise; Ç = R Çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.

3. Durum

a = 0 ve b ≠ 0 ise Çözüm kümemiz boş kümedir.

 2. Birinci Derceden İki Bilinmeyenli Denklemler

a,b,c,d,e,f ∈R olmak üzere,
ax + by = c
dx + ey = f
şeklinde kurulan denklem sistemleri birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemleri olarak adlandırılırlar.

Bu denklem sistemleri iki yöntemle çözülebilirler.

1. Yerine koyma yöntemi

İlk olarak denklemlerin birinde ya x, y cinsinden; ya da y, x cinsinden yazılır ve bulunan değer diğer denklemde yerine yazılır.

Örnek:
x + y = 2
3x + 2y = 6 sistemini 1. yol ile çözelim
x + y = 2 => x = 2 - y olur bu diğer denklemde yerine yazılırsa,
3(2 - y) + 2y = 6
6 -3y + 2y = 6
6 - y = 6
6 - 6 = y
y = 0 bulunur ve y değeri ilk denklemde yerine yazılırsa,
x + 0 = 2
x = 2  bulunur.

2. Yoketme Yöntemi

Bu yöntemde denklemler alt alta yazılır ve toplanır. Burada amaç değişkenlerden birini yoketmektir. Bunun için alt alta yazılan denklemlerden birisi uygun bir pzitif vya negatif sayı ile çarpılır ve iki denklem toplanır. Değişkenlerden birisi böylelikle yokedilmiş olur ve sistem çözülür.

Örnek:
x + y = 2
3x + 2y = 6 sistemini 2. yol ile çözelim

-2/ x + y = 2 (denklem -2 katsayısı ile çarpılıyor)
3x + 2y = 6

-2x - 2y = -4
3x + 2y = 6 (iki denklem toplandığında y değişkenleri birbirlerini götürürler)

x = 6 - 4
x = 2
x değeri denklemde yerine yazılır ve y değişkeni bulunur.
2 + y = 2
y = 0

Her iki yöntem de aynı sonucu verir.


Turgut Arslan

Havuz Problemi 2009 KPSS Soru ve Çözümü

Soru:

Aşağıdaki şekilde verilen havuzun üst kısmında havuzu dolduran 1 ve 2 numaralı musluklar, tam ortasında ise havuzun yarısını boşaltabilen 3 numaralı musluk bulunmaktadır.

 

 1  numaralı musluk boş havuzu tek başına 8 saatte, 2 numaralı musluk ise boş havuzu tek başına 4 saatte doldurmaktadır.

Bu muslukların üçü aynı anda açıldığında havuz 44/15 saatte dolduğuna göre 3 numaralı musluk havuzun yarısını kaç saatte boşaltır?(2009 KPSS)

A) 4   B) 6   C) 8   D) 9   E) 12

Çözüm:

3 numaralı musluk havuzun sadece yarısını boşaltabilmektedir. Bu musluk, havuza doldurulan suyun yüksekliği yarıyı geçtikten sona faaliyete geçmektedir. Burada soruyu çözerken havuzu iki yarım olarak ele almakta fayda var.  Buna göre ilk önce 1 ve 2 numaralı muslukların havuzun ilk yarısını kaç saatte doldurduğunu hesaplayalım.

1 nolu musluk havuzun yarısını 8/2 = 4 saatte doldurur. (1 saatte 1/4'ünü doldurur.)

2 nolu musluk havuzun yarısını 4/2 = 2 saatte doldurur. (1 saatte 1/2'sini doldurur.)

İkisinin birlikte havuzun yarısını y saatte doldurur. Şimdi y'yi hesaplayalım.

1/4 + 1/2 = 1/y

1/4 + 2/4 = 1/y (Eşitliğin sol tarafında tabanlar eşitlendi)

3/4 = 1/y

y = 4/3 saatte doldurur (havuzun yarısını)

Burada hesaplanan 1 ve 2 numaralı muslukların havuzun ilk yarısını doldurma süresiydi. Havuzun tamamı 44/15 saatte doluyordu. Şimdi havuzun ikinci yarısının kaç saatte dolacağını hesaplayalım.

44/15 - 4/3 = 44/15 - 20/15 = 24/15 

24/15 Havuzun ikinci yarısının doldurulma süresidir. Bu süre zarfında üç musluk da faaliyettedir. 1 ve 2 numaralı musluklar havuzu doldururken, 3 numaralı musluk boşaltmaktadır. Bu durumun matematiksel ifadesi yani denklemi şu şekilde yazılır.(3 numaralı musluk havuzu x saatte boşaltsın)

   1/4      + 1/2      -   1/x    =  1/24/15

(1. Musluk)    (2. musluk)      (3. musluk) 

1/4 + 1/2 - 1/x = 15/24 (hesaplamalar yapılırsa)

1/x = 1/8

x = 8 saatte boşaltır.

Doğru Cevap C Seçeneğidir.